Adjungierter Operator

In der Funktionalanalysis kann zu jedem dicht definierten linearen Operator AA ein adjungierter Operator A∗ A^* definiert werden.
Lineare Operatoren können zwischen zwei Hilberträumen mit gemeinsamem Grundkörper KK (K=C\C oder K=R\R), z.B. zwei endlichdimensionalen euklidischen Vektorräumen definiert werden. Auf endlichdimensionalen Räumen entspricht der adjungierte Operator der adjungierten Matrix. In der Matrizenrechnung mit reellen Einträgen entspricht die Bildung des adjungierten Operators dem Transponieren der Ausgangsmatrix.

Konstruktion des Adjungierten Operators

Zur Vereinfachung kann der Bild- und Definitionsraum als gleich angenommen werden. Des Weiteren unterscheidet man zwischen beschränkten und unbeschränkten Operatoren.

Definition für beschränkte Operatoren

Beschränkte Operatoren können auf dem gesamten Hilbertraum H definiert werden. In diesem Fall ist für jedes y∈Hy \in H die Funktion f(⋅)=⟨A⋅,y⟩f(\cdot) = \langle A\cdot,y \rangle ein auf dem ganzen Hilbertraum H definiertes, lineares stetiges Funktional, da aus der Beschränktheit des auf ganz H definierten linearen Operators A die Stetigkeit von f folgt.
Der Darstellungssatz von Riesz liefert für jedes stetige Funktional ff ein eindeutig bestimmtes Element z∈H z \in H, sodass f(x)=⟨x,z⟩ f(x) = \langle x,z\rangle für alle x∈Hx \in H. Also existiert für jedes y∈H y \in H genau ein Element z∈H z \in H mit ⟨Ax,y⟩=⟨x,z⟩ \langle Ax,y \rangle = \langle x,z \rangle . Man bezeichnet dieses Element z mit z=A∗y z = A^*y , wobei A∗A^* der zu A adjungierte Operator genannt wird.
Weiter nützliche Eigenschaften des adjungierten Operators:
  • A∗ A^* ist beschränkt und ∥A∥=∥A∗∥=∥A∗A∥1/2\| A\| = \| A^*\|= \| A^*A\|^{1/2}.
  • A,B beschränkte Operatoren auf H
(AB)∗=B∗A∗(AB)^* = B^*A^*
  • Kern und Bild: Ker⁡(A) ⊥ Im⁡(A∗)\operatorname{Ker}(A) \, \bot \, \operatorname{Im}(A^*)

Definition für unbeschränkte Operatoren

Sei AA ein unbeschränkter, auf einem Hilbertraum HH definierter Operator mit dichtem Definitionsbereich D(A)D(A). Dann definiert man den adjungierten Operator auf folgendem Definitionsbereich:
D(A∗)={y∈H:∃z∈H ∀x∈D(A) ⟨Ax,y⟩=⟨x,z⟩}D(A^*) = \{y \in H : \exists z \in H \, \forall x\in D(A) \, \langle Ax,y\rangle = \langle x,z\rangle\}.
Da D(A)⊂HD(A) \subset H dicht ist, ist das Element zz eindeutig bestimmt. Man definiert den zu AA adjungierten Operator mittels A∗y:=zA^*y := z.

Symmetrische und selbstadjungierte Operatoren

Sei A:D(A)→HA : D(A) \rightarrow H ein dicht definierter Operator.
Der Operator AA heißt symmetrisch (in Zeichen A⊂A∗A \subset A^*), wenn D(A)⊂D(A∗)D(A) \subset D(A^*) und ⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩\langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle für alle x,y∈D(A)x,y \in D(A) gilt.
Der Operator AA heißt selbstadjungiert (in Zeichen A=A∗A = A^*), wenn D(A)=D(A∗)D(A) = D(A^*) und ⟨Ax,y⟩=⟨x,Ay⟩\langle Ax,y\rangle = \langle x,Ay\rangle für alle x,y∈D(A)x,y \in D(A) gilt.
Jeder selbstadjungierte Operator ist auch symmetrisch. Für beschränkte Operatoren sind Symmetrie und Selbstadjungiertheit gleich. Ein verwandter Begriff ist hermitesch, der oft in der Quantenmechanik benutzt wird.
Weitere Eigenschaften:
  • Ist AA ein dicht definierter Operator, dann ist A∗AA^*A ein selbstadjungierter und positiver Operator.
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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