Rieszscher Darstellungssatz

Der Rieszsche Darstellungssatz charakterisiert den Dualraum der Banachräume LpL^{p}. Er stellt die stetigen linearen Funktionale als Integral dar. Mit diesem Satz kann man schließlich das Lemma von Lax-Milgram beweisen, welches eine zufriedenstellende Existenztheorie für viele partielle Differentialgleichungen sichert.

Aussage

Sei zunächst zu 1≤p<∞1\leq p < \infty der konjugierte Exponent qq mit 1p+1q=1\dfrac 1 p + \dfrac 1 q = 1 gegeben. Im Falle p=1p=1 wähle man q=∞q=\infty. Dann gibt es zu jedem stetigen linearen Funktional A∈(Lp)∗A\in (L^p)^* ein g∈Lqg\in L^q, so dass
A(f)=∫g(x)f(x)dxA(f) = \int\limits g(x) f(x){\rm d} x für alle f∈Lpf\in L^p
erfüllt ist.
Zum Beweis betrachtet man zunächst den Hilbertraumfall, also pp=2, und beweist diese Aussage mit dem Projektionssatz. Den allgemeinen Fall führt man dann geschickt auf den soeben bewiesenen Spezialfall unter Anwendung eines Regularitätssatzes zurück.

Konsequenzen

Neben dem oben erwähnten Lemma von Lax-Milgram folgt aus dem Satz auch noch die Existenz eines isometrischen Isomorphismus von (Lp)∗(L^p)^* nach LqL^q. Zweimalige Anwendung dieser Überlegung liefert schließlich die Reflexivität der Banachräume LpL^p für 1<p<∞1<p<\infty.

Literatur

Dieses Buch ist eine schöne Einführung in dieses doch recht abstrakte Themengebiet. Besonderen Wert wird hier auf die Regularitätstheorie schwacher Lösungen partieller Differentialgleichungen gelegt.
Ein sehr ungewöhnliches Buch mit einer ausgeprägten Existenztheorie für klassische Lösungen und mit gut ausgearbeiteten Theorie über nicht-lineare Systeme in zwei Variablen. Hier ist auch der Beweis des Rieszschen Satzes im allgemeinen Fall zu finden.
Hier wird besonders viel Wert auf die Spektraltheorie auch unbeschränkter Operatoren gelegt. Die exakte Einführung der Distributionstheorie könnte ebenfalls interessant sein.
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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