Vollständigkeitssatz von Riesz

Der Vollständigkeitssatz von Riesz (nach Frigyes Riesz) charakterisiert in der Mathematik die Banachräume LpL^{p} als vollständig. Das erlaubt die Anwendung der Sätze für vollständige Räume auf die LpL^{p}-Räume.

Aussage

Im Raum LpL^{p} mit der Norm ∥f∥p:=(∫Ω∥f(x)∥p dμ(x))1/p \|f\|_p := \braceNT{\int\limits_\Omega \|f(x)\|^p \, d\mu(x)}^{1/p} konvergiert jede Cauchy-Folge.

Beweis

Für die Cauchy-Folge (fn)(f_n) mit f∈Lpf \in L^p gelte lim⁡i→∞fi=f \lim_{i \to \infty} f_i = f. Aufgrund des Cauchy-Kriteriums gibt es nun für jedes ε > 0 ein nn, so dass ∥fl−fk∥p \|f_l-f_k\|_p < ε für alle l,k>nl,k > n gilt. Aufgrund der Cauchy-Schwarz-Ungleichung gilt nun ∥fm∥p≤∥fn∥p+ \|f_m\|_p \le \|f_n\|_p+ε≤∞\le \infty für alle m≥nm \ge n, also auch ∥f∥p≤∞ \|f\|_p \le \infty , womit ff in LpL^p liegt.
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Vollständigkeitssatz von Riesz aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Banach-Raum