Projektionssatz

Der Projektionssatz ist einer der wichtigsten Sätze der Funktionalanalysis. In letzter Konsequenz werden mit ihm partielle Differentialgleichungen konstruktiv gelöst. Er ist ein Beispiel dafür, wie in der Funktionalanalysis geometrische Überlegungen zu besonders weitreichenden Resultaten führen. Letztlich wird ein Vektor bezüglich eines gegebenen linearen Teilraums in zwei Komponenten zerlegt. Dabei liegt eine Komponente in dem gegebene linearen Teilraum und die andere ist senkrecht dazu. Man sagt, die erste Komponente ist die Projektion des Vektors auf den linearen Teilraum.

Sei $\mathcal M\subset\mathcal H$ ein abgeschlossener, linearer Teilraum eines Hilbertraums $\mathcal H$ mit dem Skalarprodukt $(\, ,\, )$. Dann gibt es für alle $f\in\mathcal H$ genau ein $f_1\in\mathcal M$ und genau ein $f_2\in\mathcal M^\perp$ mit $f = f_1 + f_2$. Dabei ist $\mathcal M^\perp$ folgendermaßen erklärt $\mathcal M^\perp := \left\{ g\in\mathcal H: (f,g)=0\, \forall f\in\mathcal M\right\}$.

Unter Ausnutzung der Sesquilinearität des Skalarproduktes zeigt man zunächst die Eindeutigkeit der Darstellung. Dann betrachtet man folgendes Variationsproblem: Finde ein $f_1\in\mathcal M$ mit $\|f-f_1\| = \inf_{g\in\mathcal M}\|f-g\| =:d$. Dabei ist $\|\, \|$ die durch das Skalarprodukt induzierte Norm. Mit direkten Methoden und der Parallelogrammgleichung sieht man die Lösbarkeit des Variationsproblems ein. Schließlich benutzt man wiederum das Skalarprodukt, um $f_2=(f-f_1)\in\mathcal M^\perp$ zu erkennen.

Man beachte, dass der Beweis lediglich von den Hilbertraumaxiomen Gebrauch macht und in dieser Hinsicht elementar wenn auch sehr abstrakt ist. Damit gilt der Projektionssatz in jedem Hilbertraum. Neben dem oben angesprochenen Konsequenzen ist durch diesen Satz das Funktionieren des Gram-Schmidtschen Orthonormalisierungsverfahren gesichert. Ebenfalls wird die Theorie der Fourierreihen erst möglich. Ist der Hilbertraum separabel, so liefert der Satz die Existenz eines vollständigen Orthonormalsystems. Schließlich ist der Projektionssatz eine der wichtigsten Werkzeuge beim Beweis des Rieszschen Darstellungssatzes.