Definition der Fourierreihe

Sei f:R→Rf:\R\to\R eine 2π2\pi-periodische Funktion, d.h. es gelte:
f(x+2π)=f(x) f(x+2\pi)=f(x) ∀x∈R\forall x\in\R
Ist a∈Ra\in\R und f∈R[a,a+2π]f\in \mathcal{R}[a,a+2\pi] riemannintegrierbar, so gilt
∫aa+2πf(x)  dx \int\limits_a^{a+2\pi} f(x)\; dx =∫aπf(x)  dx+∫πa+2πf(x)  dx=\int\limits_a^{\pi} f(x)\; dx+\int\limits_{\pi}^{a+2\pi} f(x)\; dx =∫aπf(x)  dx+∫−πaf(x+2π)⎵=f(x)  dx=\int\limits_a^{\pi} f(x)\; dx+\int\limits_{-\pi}^{a} \underbrace{f(x+2\pi)}_{=f(x)}\; dx =∫−ππf(x)  dx =\int\limits_{-\pi}^{\pi} f(x)\; dx.
Deswegen können wir uns bei den folgenden Betrachtungen auf das Intervall [−π,π][-\pi,\pi] beschränken.

Definition trigonometrische Reihe

Gegeben seien reelle Folgen (an)n=0∞(a_n)_{n=0}^\infty und (bn)n=1∞(b_n)_{n=1}^\infty. Eine Funktionenreihe der Form
a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]
heißt trigonometrische Reihe. Falls eine trigonometrische Reihe konvergiert, so ist die durch sie dargestellte Funktion 2π2\pi-periodisch. Umgekehrt kann man nun fragen: Wann lässt sich eine gegebene 2π2\pi-periodische Funktion f:R→Rf:\R\to\R durch eine trigonometrische Reihe darstellen? D.h. wann gibt es Folgen (an),  (bn)(a_n),\; (b_n) mit
f(x)=a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]f(x)=\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right] ∀x∈R \forall x\in\R?(1)
Wir nehmen zunächst an, dass (1) gilt und untersuchen die ana_n und bnb_n. Dazu setzen wir voraus, dass die Reihe (1) gleichmäßig konvergiert auf [−π,  π][-\pi,\;\pi]. Sei nun k∈Nk\in\N fest.
f(x)sin⁡(kx)f(x)\sin(kx)=a02sin⁡(kx)+∑n=1∞[ancos⁡(nx)sin⁡(kx)+bnsin⁡(nx)sin⁡(kx)⎵=:cn] =\dfrac{a_0}{2}\sin(kx)+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[ \underbrace{a_n\cos(nx)\sin(kx)+b_n\sin(nx)\sin(kx)}_{=:c_n} \right]
Die Reihe (cn)(c_n) konvergiert ebenfalls gleichmäßig auf [−π,  π][-\pi,\;\pi] und nach Satz 16K9 ist f(x)sin⁡(kx)f(x)\sin(kx) riemannintegrierbar über [−π,π] [-\pi,\pi] mit
∫−ππf(x)sin⁡(kx)  dx\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)\; dx =a02∫−ππsin⁡(kx)  dx = \dfrac{a_0}{2}\int\limits_{-\pi}^\pi \sin(kx)\; dx +∑n=1∞[an∫−ππcos⁡(nx)sin⁡(kx)  dx+bn∫−ππsin⁡(nx)sin⁡(kx)  dx] + \sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(nx)\sin(kx)\; dx +b_n\int\limits_{-\pi}^\pi\sin(nx)\sin(kx)\; dx\right].
=π⋅bk{=} \pi\cdot b_k (Satz 16SO)
Also:
bk=1π∫−ππf(x)sin⁡(kx)  dx {b_k=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\sin(kx)\; dx} (für k∈Nk\in\N)(2)
Multipliziert man (1) mit cos⁡(kx)\cos(kx) (für k∈N0k\in\N_0) und integriert wieder über [−π,  π][-\pi,\;\pi], so erhält man entsprechend:
ak=1π∫−ππf(x)cos⁡(kx)  dx{a_k=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi f(x)\cos(kx)\; dx} (für k∈N0k\in\N_0) (3)

Definition Fourierreihe

Sei f∈R[−π,  π]f\in \mathcal R[-\pi,\;\pi]. Dann heißen die in (2) und (3) definierten Zahlen die Fourier-Koeffizienten von ff. Die mit diesen Koeffizienten gebildete trigonometrische Reihe
a02+∑n=1∞[ancos⁡(nx)+bnsin⁡(nx)]{\dfrac{a_0}{2}+\sum\limits_{n=1}^\infty \left[a_n\cos(nx)+b_n\sin(nx)\right]}
heißt die zu ff gehörige Fourier-Reihe.
 
 

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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