Fourierreihen gerader und ungerader Funktionen

Für gerade und ungerade Funktionen vereinfachen sich die Fourierreihen wesentlich. Es handelt sich dann um reinen Kosinus- bzw. Sinusreihen.

Satz 170M (Fourierkoeffizienten gerader und ungerader Funktionen)

Ist f∈R[−π,  π]f\in R[-\pi,\;\pi] riemannintegrierbar, so gilt für die Fourier-Koeffizienten von ff:
  1. wenn ff gerade ist:
    ak=2π∫0πf(x)cos⁡(kx)  dxa_k=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)\cos(kx)\; dx für alle k∈N0 k\in\N_0
    bk=0b_k=0 für alle k∈N k\in \N
  2. wenn ff ungerade ist:
    ak=0a_k=0 für alle k∈N0 k\in\N_0
    bk=2π∫0πf(x)sin⁡(kx)  dxb_k=\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi f(x)\sin(kx)\; dx für alle k∈N k\in \N

Beweis

Nur für gerades ff, für ungerade Funktionen läuft der Beweis analog. ak=1π∫−ππf(x)cos⁡(kx)⎵=:φ(x)  dxa_k=\dfrac{1}{\pi}\int\limits_{-\pi}^\pi \underbrace{f(x)\cos(kx)}_{=:\varphi(x)}\; dx=1π(∫−π0φ(x)  dx+∫0πφ(x)  dx) =\dfrac{1}{\pi}\left(\int\limits_{-\pi}^0 \varphi(x)\; dx+\int\limits_0^\pi \varphi(x)\; dx\right) =1π(∫0πφ(−t)⎵=φ(t)  dt+∫0πφ(x)  dx) =\dfrac{1}{\pi}\left(\int\limits_0^\pi \underbrace{\varphi(-t)}_{=\varphi(t)}\; dt+\int\limits_0^\pi \varphi(x)\; dx\right) (Substitution t=−xt=-x) =2π∫0πφ(x)  dx =\dfrac{2}{\pi}\int\limits_0^\pi \varphi(x)\; dx⇒ \quad\Rightarrow Behauptung. Analog erschließt man bk=0b_k=0. □\qed
 
 

Ein Mathematiker, der nicht irgendwie ein Dichter ist, wird nie ein vollkommener Mathematiker sein.

Karl Weierstraß

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