Orthogonalitätsrelationen für Sinus und Kosinus

Satz 16SN

$2\int\limits \sin (nx)\sin(kx)\; dx$$=\begin{cases}\dfrac{1}{n-k}\sin \left((n-k)\cdot x\right)-\dfrac{1}{n+k}\sin\left((n+k)\cdot x\right)+c&\text{für }n\neq k \\x-\dfrac{\sin(2nx)}{2n}+c& \text{für }n=k\neq 0\end{cases}$

$2\int\limits \cos (nx)\cos(kx)\; dx$$=\begin{cases}\dfrac{1}{n-k}\sin \left((n-k)\cdot x\right)+\dfrac{1}{n+k}\sin\left((n+k)\cdot x\right)+c&\text{für }n\neq k \\x+\dfrac{\sin(2nx)}{2n}+c& \text{für }n=k\neq 0\end{cases}$

$2\int\limits \sin(nx)\cos(kx)\; dx$$=\begin{cases}-\dfrac{1}{n-k}\cos \left((n-k)\cdot x\right)-\dfrac{1}{n+k}\cos\left((n+k)\cdot x\right)+c&\text{für }n\neq k \\-\dfrac{\cos(2nx)}{2n}+c& \text{für }n=k\neq 0\end{cases}$

Beweis

Satz 16SO (Orthogonalitätsrelationen für Sinus und Kosinus)

$\int\limits_{-\pi}^\pi \sin(nx)\sin(kx)\; dx$$=\int\limits_{-\pi}^\pi \cos(nx)\cos(kx)\; dx$$=\begin{cases}0& \text{für }n\neq k\\ \pi& \text{für }n =k\end{cases}$

$\int\limits_{-\pi}^\pi \sin(nx)\cos(kx)\; dx =0$

Beweis

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

Spezielle Teilgebiete

• Fourier-Reihen
  • Orthogonalitätsrelationen
  • Definition
  • Gerade und Ungerade Funktionen
• Maß- und Integrationstheorie
• Nichtstandardanalysis