Prähilberträume

Sei VV ein reeller Vektorraum und ⟨⋅,⋅⟩:V→R\spo\cdot,\cdot\spc :V\to\R eine positiv definite symmetrische Bilinearform, dann heißt VV Prähilbertraum oder Innenproduktraum.
Es handelt sich also um einem Vektorraum mit einem Skalarprodukt.

Beispiele

Euklidische Räume

Alle nn-dimensionalern euklidischen Räume sind Prähilberträume mit dem natürlichen Skalarprodukt
⟨u,v⟩:=∑k=1nuk⋅vk\langle u,v\rangle:=\sum\limits_{k=1}^n u_k\cdot v_k
mit u=(u1,u2,…,un)tu=(u_1,u_2,\dots,u_n)^t und v=(u1,u2,…,un)tv=(u_1,u_2,\dots,u_n)^t.
Ist λ=(λ1,λ2,…,λn)\lambda=(\lambda_1,\lambda_2,\dots,\lambda_n) mit λk>0\lambda_k>0 für k=1…nk=1\dots n, dann ist der Rn\R^n mit dem gewichteten Skalarprodukt ⟨u,v⟩:=∑k=1nλk⋅uk⋅vk\langle u,v\rangle:=\sum\limits_{k=1}^n \lambda_k\cdot u_k\cdot v_k ein Prähilbertraum.
 
 

Polynome

Seien p=∑k=0nakxkp=\sum\limits_{k=0}^n a_kx^k und q=∑k=0nbkxkq=\sum\limits_{k=0}^n b_kx^k zwei Polygone, so definieren wir
⟨p,q⟩=∑k=0nakbk\langle p,q\rangle=\sum\limits_{k=0}^n a_kb_k
und erhalten den Prähilbertraum aller Polynome vom Grad <=n<=n.

Stetige Funktionen (Beispiel C9L8)

Sei C[a,b]\mathcal C[a,b] der Vektorraum aller stetigen Funktionen über dem abgeschlossenen Intervall [a,b][a,b]. Für f,g∈C[a,b]f,g\in \mathcal C[a,b] definieren wir mit
⟨f,g⟩=∫abf(x)g(x)d⁡x\langle f,g\rangle=\int\limits_a^b f(x)g(x)\d x
ein Skalarprodukt, womit C[a,b]\mathcal C[a,b] zum Prähilbertraum wird.

Bemerkung

Nach Satz 5310C gilt in Prähilberträumen die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung. Nach Satz 5310E können wir jeden Prähilbertraum zu einem normierten Raum machen, wobei für v∈Vv\in V die Norm durch ∣∣v∣∣=⟨v,v⟩||v||=\sqrt \langle v,v\rangle definiert wird.

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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