Orthonormalsystem

In der linearen Algebra bezeichnet man als Orthonormalsystem (ON-System) ("orthonormal" ist eine Zusammensetzung aus "orthogonal" und "normal") eine Untermenge eines Innenproduktraums, d.h. eines euklidischen Vektorraumes oder eines (Prä-)Hilbertraumes, deren Elemente ein Orthogonalsystem bilden, d.h. zueinander orthogonal sind, und die Norm 1 haben. Wie im Artikel zum Orthogonalsystem gezeigt wird, ist eine solche Teilmenge linear unabhängig. Jedes Orthonormalsystem kann zu einer Orthonormalbasis erweitert werden. Diese nennt man im Hilbertraum auch vollständiges Orthonormalsystem (CON-System, C für engl. "complete") oder Hilbertbasis.

Die Skalarprodukte eines Elementes

v

des (Prä-)Hilbertraumes mit den Elementen eines Orthogonalsystems

(\bm{e}_{k})

nennt man Fourierkoeffizienten, die mit diesen Koeffizienten und den entsprechenden Elementen des ON-Systems gebildete Reihe

P(v):=\sum\limits_{k\in I}\langle v, \, \mathbf e_k\rangle\cdot \mathbf e_k

ist die orthogonale Projektion auf den vom ON-System aufgespannten Unterraum. Es gilt die Besselsche Ungleichung

\|Pv\|^2=\sum\limits_{k\in I} |\langle v, \, \mathbf e_k\rangle|^2\le \|v\|^2

Gilt das Gleichheitszeichen, so ist Pv=v; gilt immer das Gleichheitszeichen, so ist das ON-System vollständig.

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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