Winkel im Prähilbertraum

Sei VV Prähilbertraum mit dem Skalarprodukt ⟨⋅,⋅⟩\langle\cdot,\cdot\rangle und der induzierten Norm ∣∣⋅∣∣||\cdot||. Für Vektoren u,v∈Vu,v\in V gilt die Cauchy-Schwarzsche Ungleichung ⟨u,v⟩2<=(⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩)2\langle u,v\rangle^2<=(\langle u,u\rangle\cdot\langle v,v\rangle)^2, also auch (⟨u,v⟩⟨u,u⟩⋅⟨v,v⟩)2<=1\left(\dfrac {\langle u,v\rangle}{\langle u,u\rangle\cdot\langle v,v\rangle}\right)^2<=1und damit ∣⟨u,u⟩∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣∣<=1\left|\dfrac {\langle u,u\rangle}{||u||\cdot||v||}\right|<=1. Diese Ungleichung legt die folgende Definition nahe.

Definition (Winkel zwischen Vektoren)

Für zwei Vektoren uu und vv definieren wir den Winkel φ=∠(u,v)\phi=\angle(u,v) zwischen ihnen mit:
φ=arccos⁡⟨u,u⟩∣∣u∣∣⋅∣∣v∣∣\phi=\arccos \dfrac {\langle u,u\rangle}{||u||\cdot||v||}.
Mit den obigen Überlegungen existiert dieser Winkel stets und ist wegen der Bijektivität der Kosinusfunktion auf dem Intervall [0,π][0,\pi] auch eindeutig bestimmt.
Es gilt ∠(u,u)=arccos⁡(1)=0°\angle(u,u)=\arccos (1)=0° und ∠(u,−u)=arccos⁡(−1)=180°\angle(u,-u)=\arccos (\me)=180°. Sind uu und vv orthogonale Vektoren, dann gilt ∠(u,v)=arccos⁡(0)=90°\angle(u,v)=\arccos(0)=90°, was mit unserer Vorstellung von Orthogonalität übereinstimmt.
Man überzeugt sich leicht, dass diese Definition mit der im R2\R^2 (oder R3\R^3) üblichen Definition des Winkels übereinstimmt, sofern man das kanonische Skalarprodukt verwendet.

Beispiel

Wir betrachten die Polynome pn(x)=xnp_n(x)=x^n aus Beispiel C9L9. Dort haben wir ⟨pn,pm⟩=1m+n+1(1−(−1)m+n+1)\langle p_n,p_m\rangle=\dfrac 1 {m+n+1} \left(1-(\me)^{m+n+1}\right) und ∣∣pn∣∣=22n+1||p_n||=\sqrt{\dfrac 2 {2n+1}} berechnet. Für den Winkel ergibt sich nun ∠(pm,pn)=1m+n+1(1−(−1)m+n+1)22m+1⋅22n+1\angle(p_m,p_n)=\dfrac{\dfrac 1 {m+n+1}{ \left(1-(\me)^{m+n+1}\right)}}{\sqrt{\dfrac 2 {2m+1}}\cdot \sqrt{\dfrac 2 {2n+1}}} =12(2m+1)(2n+1)(m+n+1)2(1−(−1)m+n+1)=\dfrac1 2\sqrt{\dfrac{(2m+1)(2n+1)}{(m+n+1)^2} } \left(1-(\me)^{m+n+1}\right).
Für p1p_1 und p3p_3 ergibt sich ∠(p1,p3)=arccos⁡3⋅725\angle(p_1,p_3)=\arccos \sqrt{\dfrac {3\cdot 7}{25}} ≈arccos⁡(0,9165)≈23,6°\approx \arccos (0,9165)\approx 23,6°.
 
 

Die Logik ist die Hygiene, deren sich der Mathematiker bedient, um seine Gedanken gesund und kräftig zu erhalten.

Hermann Weyl

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite ist urheberrechtlich geschützt und darf ohne Genehmigung des Autors nicht weiterverwendet werden.
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе
Datenschutzerklärung

 

Hilbertraum