Bilinearformen und Normen

Den Zusammenhang zwischen positiv definiten symmetrischen Bilinearformen und normierten Vektorräumen klärt der folgende Satz.

Satz 5310E (Positiv definite symmetrische Bilinearformen und Normen)

Sei VV ein Vektorraum über den reellen Zahlen und σ\sigma eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine von dieser Bilinearform induzierte Norm ||\cdot||. Diese ist für eine Vektor aVa\in V wie folgt definiert:
a=σ(a,a)||a||=\sqrt {\sigma(a,a)}
Für alle a,bVa,b\in V gilt: σ(a,b)ab|\sigma(a,b)|\leq ||a||\, ||b||.
 
 

Beweis

Wegen der positiven Definitheit von σ\sigma ist die Norm wohldefiniert und a>0||a||>0 für A0A\neq 0. Für λR\lambda\in\dom R gilt λa=σ(λa,λa)=λ2σ(a,a)=λa||\lambda a||=\sqrt{\sigma(\lambda a,\lambda a)}=\sqrt{\lambda^2}\sqrt {\sigma(a,a)}=|\lambda| \, ||a||.
Die Dreiecksungleichung beweisen wir folgendermaßen: a+b2=σ(a+b,a+b)||a+b||^2= \sigma(a+b,a+b) =σ(a,a)+2σ(a,b)+σ(b,b)= \sigma(a,a) +2\sigma(a,b)+\sigma(b,b)
=a2+2ab+b2=||a||^2+2||a||\, ||b||+||b||^2 (mit Satz 5310C und Anwendung der Definition)
=(a+b)2=(||a||+||b||)^2
Die Behauptung σ(a,b)ab|\sigma(a,b)|\leq ||a||\, ||b|| ergibt sich direkt aus Satz 5310C. \qed

Die Umkehrung von Satz 5310E gilt im Allgemeinen nicht.
Den Schlüssel zur Umkehrung von Satz 5310E liefert uns das Parallelogrammgesetz. Dabei handelt es sich um die folgende Beziehung:
a+b2+ab2=2(a2+b2)||a+b||^2+||a-b||^2=2(||a||^2+||b||^2).

Satz 5310F (Parallelogrammgesetz und normierte Vektorräume)

Sei VV ein normierter Vektorraum. Dann gilt in VV genau dann das Parallelogrammgesetz, wenn die Norm von einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform erzeugt wird.

Beweis

"    \implies": Sei die Norm in VV durch die Bilinearform σ\sigma erzeugt, mittels a=σ(a,a)||a||=\sqrt {\sigma(a,a)}. Dann gilt: a+b2+ab2=σ(a+b,a+b)+σ(ab,ab)||a+b||^2+||a-b||^2=\sigma(a+b,a+b)+\sigma(a-b,a-b) =σ(a,a)+2σ(a,b)+σ(b,b)+σ(a,a)2σ(a,b)+σ(b,b)=\sigma(a,a)+2\sigma(a,b)+\sigma (b,b)+\sigma(a,a)-2\sigma(a,b)+\sigma (b,b) =2σ(a,a)+2σ(b,b)=2(a2+b2)=2\sigma(a,a)+ 2\sigma (b,b)=2(||a||^2+||b||^2).
"\Leftarrow": Wenn VV ein normierter Vektorraum ist, in dem das Parallelogrammgesetz gilt, dann definieren wir σ(a,b):=14(a+b2ab2)\sigma(a,b):=\dfrac 1 4 (||a+b||^2-||a-b||^2) und zeigen, dass σ\sigma eine positiv definite symmetrische Bilinearform ist. Offensichtlich ist σ(a,a)>0\sigma(a,a)>0 für a0a\neq 0; außerdem ist die Symmetrie sofort aus der Definition ersichtlich. Bleibt die Bilinearität zu zeigen.
Wir skizzieren den weiteren Beweisweg, und sparen die technischen Details aus. Zuerst nutzt man das Parallelogrammgesetz mit aca-c und a+c+2ba+c+2b bzw. a+c2ba+c-2b. Daraus kann man unter Anwendung der Definition von σ\sigma folgern, dass 2σ(a,b)+2σ(c,b)=σ(a+c,2b)2\sigma(a,b)+2\sigma(c,b)=\sigma(a+c,2b) ist. Daraus kann man die Linearität für 2 als Faktor schließen und mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen. Dies kann man durch Übergang zum Negativen auf die ganzen Zahlen ausdehnen und schließlich auf rationale Zahlen und durch Grenzübergang auf alle reellen Zahlen. \qed

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Stephen Hawking

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