Bilinearformen und Normen

Den Zusammenhang zwischen positiv definiten symmetrischen Bilinearformen und normierten Vektorräumen klärt der folgende Satz.

Sei $V$ ein Vektorraum über den reellen Zahlen und $\sigma$ eine positiv definite symmetrische Bilinearform. Dann gibt es eine von dieser Bilinearform induzierte Norm $||\cdot||$. Diese ist für eine Vektor $a\in V$ wie folgt definiert:

Für alle $a,b\in V$ gilt: $|\sigma(a,b)|\leq ||a||\, ||b||$.

Wegen der positiven Definitheit von $\sigma$ ist die Norm wohldefiniert und $||a||>0$ für $A\neq 0$. Für $\lambda\in\dom R$ gilt $||\lambda a||=\sqrt{\sigma(\lambda a,\lambda a)}=\sqrt{\lambda^2}\sqrt {\sigma(a,a)}=|\lambda| \, ||a||$.

Die Dreiecksungleichung beweisen wir folgendermaßen: $||a+b||^2= \sigma(a+b,a+b)$ $= \sigma(a,a) +2\sigma(a,b)+\sigma(b,b)$

$=||a||^2+2||a||\, ||b||+||b||^2$ (mit Satz 5310C und Anwendung der Definition)

$=(||a||+||b||)^2$

Die Behauptung $|\sigma(a,b)|\leq ||a||\, ||b||$ ergibt sich direkt aus Satz 5310C. $\qed$

Die Umkehrung von Satz 5310E gilt im Allgemeinen nicht.

Den Schlüssel zur Umkehrung von Satz 5310E liefert uns das Parallelogrammgesetz. Dabei handelt es sich um die folgende Beziehung:

Sei $V$ ein normierter Vektorraum. Dann gilt in $V$ genau dann das Parallelogrammgesetz, wenn die Norm von einer positiv definiten symmetrischen Bilinearform erzeugt wird.

"$\implies$": Sei die Norm in $V$ durch die Bilinearform $\sigma$ erzeugt, mittels $||a||=\sqrt {\sigma(a,a)}$. Dann gilt: $||a+b||^2+||a-b||^2=\sigma(a+b,a+b)+\sigma(a-b,a-b)$ $=\sigma(a,a)+2\sigma(a,b)+\sigma (b,b)+\sigma(a,a)-2\sigma(a,b)+\sigma (b,b)$ $=2\sigma(a,a)+ 2\sigma (b,b)=2(||a||^2+||b||^2)$.

"$\Leftarrow$": Wenn $V$ ein normierter Vektorraum ist, in dem das Parallelogrammgesetz gilt, dann definieren wir $\sigma(a,b):=\dfrac 1 4 (||a+b||^2-||a-b||^2)$ und zeigen, dass $\sigma$ eine positiv definite symmetrische Bilinearform ist. Offensichtlich ist $\sigma(a,a)>0$ für $a\neq 0$; außerdem ist die Symmetrie sofort aus der Definition ersichtlich. Bleibt die Bilinearität zu zeigen.

Wir skizzieren den weiteren Beweisweg, und sparen die technischen Details aus. Zuerst nutzt man das Parallelogrammgesetz mit $a-c$ und $a+c+2b$ bzw. $a+c-2b$. Daraus kann man unter Anwendung der Definition von $\sigma$ folgern, dass $2\sigma(a,b)+2\sigma(c,b)=\sigma(a+c,2b)$ ist. Daraus kann man die Linearität für 2 als Faktor schließen und mittels vollständiger Induktion für alle natürlichen Zahlen. Dies kann man durch Übergang zum Negativen auf die ganzen Zahlen ausdehnen und schließlich auf rationale Zahlen und durch Grenzübergang auf alle reellen Zahlen. $\qed$