Fréchet-Ableitung

Differentiation in Banachräumen

Die Differentiation kann für Funktionen zwischen beliebigen Banachräumen verallgemeinert werden. Die Funktion soll dabei differenzierbar sein, wenn sie sich durch einen beschränkten linearen Operator annähern lässt. Der so definierte Ableitungsbegriff entspricht dann im Rn\Rn der totalen Ableitung.
EE und FF seien Banachräume. Eine Funktion f:D→Ff:D\rightarrow F mit D⊂ED\subset E offen, heißt in x∈Dx\in D differenzierbar genau dann, wenn
∃A∈L(E,F) ∃r(h) ∃δ>0:∀∣∣h∣∣≤δ:x+h∈D \exists A\in \mathcal{L}(E,F) \, \exists r(h) \, \exists\delta >0 : \forall ||h||\leq \delta : x+h \in D und f(x+h)=f(x)+Ah+r(h) f(x+h)=f(x)+Ah+r(h) mit lim⁡h→0r(h)∣∣h∣∣=0 \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{r(h)}{||h||}=0
Die Differentiation von ff im Punkt x∈Dx\in D entspricht also einer Approximation durch eine affive lineare Abbildung f(x)+Ahf(x)+Ah mit der Eigenschaft, dass
lim⁡h→0f(x+h)−f(x)−Ah∣∣h∣∣=0 \lim_{h\rightarrow 0}\dfrac{f(x+h)-f(x)-Ah}{||h||}=0\,
Falls AA existiert, so ist es eindeutig bestimmt und heißt Fréchet-Ableitung (oder einfach Ableitung) und AhAh ist das Differential der Funktion ff im Punkt x∈Dx\in D
Setzt man r~(h):={r(h)∣∣h∣∣0<∣∣h∣∣≤δ0h=0\tilde{r}(h):=\begin{cases} \dfrac{r(h)}{||h||} & 0<||h||\leq\delta\\ 0 & h=0 \end{cases} , ist r~\tilde{r} in h=0h=0 stetig. Äquivalent zur Definition der Differentiation von ff im Punkt xx ist die folgende:
f(x+h)=f(x)+Ah+∣∣h∣∣r~(h)f(x+h)=f(x)+Ah+||h||\tilde{r}(h) mit lim⁡h→0r~(h)=0 \lim_{h\rightarrow 0} \tilde{r}(h)=0
 
 

Beispiel

E,FE,F seien Banachräume und f:E→Ff:E\rightarrow F mit f(x)=c+Axf(x)=c+Ax, wobei c∈F c\in F und A∈L(E,F) A\in\mathcal{L} (E,F) ein beschränkter linearer Operator. Dann ist f ′(x)=Af\, '(x)=A. Insbesondere ist für f=Af=A die Ableitung der lineare Operator selbst.

Begründung

f(x+h)=c+A(x+h)f(x+h)=c+A(x+h)=c+Ax+Ah =c+Ax+Ah=f(x)+Ah =f(x)+Ah, also r(h)=0r(h)=0⇒f′(x)=A \Rightarrow f'(x)=A.

Bemerkung

Seien EE und FF Banachräume und f:D⊂E→Ff:D\subset E\rightarrow F in DD differenzierbar. Dann ist f ′f\, ' eine Abbildung von DD in L(E,F)\mathcal{L}(E,F): f′:D→L(E,F)f':D\rightarrow \mathcal{L}(E,F) , d.h. die Bilder sind beschränkte lineare Operatoren. Für E=F=RE=F=\R gilt L(R,R)≅R\mathcal{L}(\R,\R)\cong\R

Rechenregeln

Für die Fréchet-Ableitung kann man die Ableitungsregeln für reelle Funktionen übertragen.

Linearität

Seien EE, FF Banachräume und f,g:D→Ff,g:D\rightarrow F; D⊂ED\subset E offen und differenzierbar in x∈Dx\in D. Dann sind f+gf+g und α⋅f\alpha\cdot f für α∈R\alpha\in\R mindestens in xx differenzierbar und es gilt:
(f+g)′(x)=f ′(x)+g′(x)(f+g)'(x)=f\, '(x)+g'(x)
(αf)′(x)=αf′(x) (\alpha f)'(x)=\alpha f'(x)

Produkt- und Quotientenregel

Sei EE ein Banachraum; f,g:D→Rf,g:D\rightarrow\R und D⊂ED\subset E offen in x∈Dx\in D differenzierbar. Dann sind f⋅gf\cdot g und fg\dfrac{f}{g} (falls g(x)≠0 g(x)\neq 0) in xx differenzierbar und es gilt
(f⋅g)′(x)=f´(x)g(x)+f(x)g´(x)(f\cdot g)'(x)=f´(x)g(x)+ f(x)g´(x)
(fg)′(x)=f′(x)g(x)−f(x)g′(x)(g(x))2 \left(\dfrac{f}{g}\right)'(x)=\dfrac{f'(x)g(x)-f(x)g'(x)}{(g(x))^2}

Kettenregel

Seien E,F,GE,F,G Banachräume, f:D→Ff:D\rightarrow F (D⊂ED\subset E offen) in xx differenzierbar, g:C→G,C⊂Fg:{C}\rightarrow G, {C}\subset F offen und f(D)⊂Cf(D)\subset C in f(x)f(x) differenzierbar (E→fF→gG E\xrightarrow{f}F\xrightarrow{g} G). Dann ist g∘fg \circ f in xx differenzierbar und es gilt (g∘f)′(x)=g′(f(x))f′(x)(g\circ f)'(x)= g'(f(x))f'(x).

Scherzhafte Beispiele haben manchmal größere Bedeutung als ernste.

Michael Stifel

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