Analytische Geometrie des Raums

Ortsvektor.PNG
Einen Punkt \(\displaystyle A\) der euklidischen Raum \(\displaystyle \dom {R ^3}\) kann man als Ortsvektor \(\displaystyle a\) auffassen, der durch eine \(\displaystyle x\)-, \(\displaystyle y\)- und eine \(\displaystyle z\)-Koordinate charakterisiert ist. Man schreibt dann \(\displaystyle A(a_x;\, a_y;\, a_z)\) oder \(\displaystyle A(a_x|a_y|a_z)\).
Der Vektor wird häufig in Spaltenschreibweise als:
\(\displaystyle a=\pmatrix { a_x\\ a_y\\ a_z}\)
angegeben.
Der Abstand \(\displaystyle d\) des Punktes \(\displaystyle A\) vom Ursprung entspricht genau der Norm des Vektors \(\displaystyle a\) (Schreibweise: \(\displaystyle ||a||\)) und wird mit der üblichen euklidischen Metrik ermittelt, die elementargeometrisch dem Satz des Pythagoras entspricht:
\(\displaystyle d=||a||=\sqrt {a_x^2+a_y^2+a_z^2}\)
Für zwei Punkte \(\displaystyle A(a_x|a_y|a_z)\) und \(\displaystyle B(b_x|b_y|b_z)\) ergibt sich dem Abstand \(\displaystyle d\) voneinander mit:
\(\displaystyle d=||a-b||=\sqrt{(a_x-b_x)^2+(a_y-b_y)^2+(a_z-b_z)^2 }\),
was genau der Norm der Differenz entspricht.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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