Einheiten in Ringen
Ein Element
a∈R eines
unitären Ringes heißt
invertierbar oder
Einheit, falls es ein
b∈R gibt mit
ab=ba=1.
Satz 15WS
Die
Menge aller invertierbaren Elemente eines unitären Rings werden mit
U(R) oder
R∗ bezeichnet. Sie bilden eine
Gruppe, die
Einheitengruppe.
Beweis
Erledigt sich einfach durch Überprüfung der
Gruppenaxiome.
□ Satz 15WT (Einheitengruppe und Körper)
Ein
unitärer Ring R ist genau dann ein
Körper, wenn die
Einheitengruppe von
R alle Elemente bis auf die
0 umfasst.
Beweis
Es ist klar, dass in einem
Körper die
Einheitengruppe der multiplikativen
Gruppe des
Körpers entspricht. Alle von Null verschiedenen Elemente sind
invertierbar.
Wenn die
Einheitengruppe alle Ringelemente bis auf die
0 enthält, sind aber auch gerade die
Körperaxiome erfüllt.
□ Beispiele
Im
Ring der
ganzen Zahlen Z besteht die
Einheitengruppe aus
{−1,1}.
Im Falle des Matrizenrings
Mat(n×n,K) umfasst die
Einheitengruppe alle
invertierbaren Matrizen (
detA=/0). Sie heißt
generelle lineare Gruppe und wird mit
GL(n,K) bezeichnet.
Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.
Felix Auerbach
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