Unterkörper und Oberkörper

Ein Unterkörper (oder Teilkörper) eines Körpers LL ist eine Teilmenge K⊆LK \subseteq L, die 0 und 1 enthält und mit den auf KK eingeschränkten Verknüpfungen selbst ein Körper ist. LL wird dann Oberkörper von KK genannt.
Eine Teilmenge K⊆LK \subseteq L ist genau dann ein Teilkörper von LL, wenn sie 0 und 1 enthält und bezüglich der vier Verknüpfungen Addition, Multiplikation, Negation und Kehrwertbildung abgeschlossen ist, d.h. die Verknüpfung von Elementen von KK liefert wieder ein Element von KK.
Zum Beispiel ist der Körper C\mathbb{C} der komplexen Zahlen ein Oberkörper des Körpers R\mathbb{R} der reellen Zahlen.

Primkörper

Unter einem Primkörper versteht man einen Körper, der keine echten Teilkörper enthält.

Eigenschaften von Primkörpern

Jeder Primkörper ist (bis auf Isomorphie) entweder Q\domQ (also der Körper der rationalen Zahlen) oder ein Fp\Bbb F_p-Körper mit pp prim (d.h. ein Restklassenkörper modulo pp).
Jeder Körper enthält einen Primkörper. Ist die Charakteristik des Körpers 0, so ist dessen Primkörper isomorph zu Q\Bbb Q, ist sie hingegen eine Primzahl p, so ist der Primkörper isomorph zu Fp\Bbb F _p. Damit kann jeder Körper als Erweiterungskörper seines Primkörpers angesehen werden.
 
 

Jede Wissenschaft bedarf der Mathematik, die Mathematik bedarf keiner.

Jakob I. Bernoulli

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Ringe und Körper