Charakteristik einer Körpers

In jedem Körper K{\mathbb{K}} finden wir natürliche Zahlen vermöge der Abbildung
i ⁣:N→Ki \colon {\N} \to K ; n→i(n):=n∈N×1∈K:=∑k=1n1=1+⋯+1⎵n mal n \to i(n) := \underset{\in {\N}}{n} \times \underset{\in K}{1} := \sum\limits_{k=1}^n 1 = \underbrace{1 + \dots + 1}_{n\text{ mal}}
Allerdings besteht die Möglichkeit, dass ein m∈Nm\in {\N} existiert mit i(m)=1+⋯+1⎵m mal=0i(m) = \underbrace{1 + \dots + 1}_{m\text{ mal}} = 0 (Zum Beispiel im Z2{\Z}_2 ist 1+1=i(2)=01+1 = i(2) = 0).

Definition

Die Charakteristik eines Körpers sei:
χ(K):={min⁡{m∈N∣i(m)=∑k=1m1=0}≥2falls ∃m∈N i(m)=00falls ∀m∈N i(m)≠0 \chi({\mathbb{K}}) := \begin{cases} \min \{ m \in {\N} \mid i(m) = \sum\limits_{k=1}^m 1 = 0 \} \ge 2 & \text{falls } \exists_{m\in{\N}}\, i(m) = 0 \\ 0 & \text{falls } \forall_{m\in{\N}}\, i(m) \ne 0 \end{cases}

Beispiel

χ(Q)=χ(R)=χ(C)=0\chi({\Q}) = \chi({\R}) = \chi({\C}) = 0, χ(Z2)=2\chi({\Z}_2) = 2

Satz 815D (Eigenschaften der Charakteristik)

  1. i(m+n)=i(m)+i(n)i(m+n)=i(m)+i(n) und für m>nm>n: i(m−n)=i(m)−i(n)i(m-n)=i(m)-i(n)
  2. χ(K)=0\chi({\mathbb{K}}) =0   ⟺  \iff i ⁣:N→Ki\colon {\N} \to K ist injektiv.
  3. Falls χ(K)≠0\chi(\mathbb{K}) \ne 0 ist die Charakteristik eine Primzahl.

Beweis

(i) i(m+n)=∑k=1m+n1i(m+n)=\sum\limits_{k=1}^{m+n}1 =∑k=1m1+∑k=1n1=i(m)+i(n)=\sum\limits_{k=1}^{m}1+\sum\limits_{k=1}^{n}1=i(m)+i(n). (ii) Wegen (i) gilt für m>nm>n i(m)=i(n)  ⟺  i(m−n)=0i(m)=i(n)\iff i(m-n)=0. "  ⟹  \implies": χ(K)=0\chi({\mathbb{K}}) =0 und ii nicht injektiv. ∃m>n\exist m>n: i(m)=i(n)i(m)=i(n)   ⟹  \implies i(m−n)=0i(m-n)=0 Widerspruch zu χ(K)=0\chi({\mathbb{K}}) =0. "⇐\Leftarrow": ii injektiv und χ(K)≠0\chi({\mathbb{K}}) \neq 0. Es gibt also ein m>0m>0 mit i(m)=0i(m)=0   ⟹  \implies 0=i(m+1−1)=i(m+1)−i(1)0=i(m+1-1)=i(m+1)-i(1)   ⟹  \implies i(m+1)=i(1)i(m+1)=i(1) wegen Injektivität: m+1=1m+1=1, also m=0m=0 Widerspruch. (iii) Sei χ(K)=m=p⋅q\chi(K) = m = p\cdot q mit 1<p,q<m1 < p,q < m. Dann gilt: i(p)⋅i(q)=(1+⋯+1⎵p mal)(1+⋯+1⎵q mal)=1+⋯+1⎵p⋅q mal=0 i(p) \cdot i(q) = (\underbrace{1+\dots+1}_{p\text{ mal}}) (\underbrace{1+\dots+1}_{q\text{ mal}}) = \underbrace{1+\dots+1}_{p\cdot q\text{ mal}} = 0\, Der Körper K{\mathbb{K}} ist nullteilerfrei, daher ist i(p)=0i(p) = 0 oder i(q)=0i(q) = 0. Es gibt also ein m~∈N\tilde{m} \in {\N} mit m~<m\tilde{m} < m und i(m~)=0i(\tilde{m})=0. Widerspruch zur Definition der Charakteristik. □\qed

Bemerkungen

Eine Identifizierung von m∈Nm\in{\N} mit dem Bild i(m)∈Ki(m) \in K ist bei χ(K)=0\chi({\mathbb{K}}) =0 möglich und man kann schreiben N⊂K{\N} \subset {\mathbb{K}} (⇒Z⊂K⇒Q⊂K\Rightarrow {\Z} \subset {\mathbb{K}} \Rightarrow {\Q} \subset {\mathbb{K}}). Q{\Q} ist damit der "kleinste" Körper mit Charakteristik 0.
Zu jeder Primzahl pp gibt es auch eine Körper mit χ(K)=p\chi({\mathbb{K}}) = p. Zum Beispiel Zp={0‾,1‾,…,p‾}{\Z}_p = \{ \overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{p} \}
 
 

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N. Bourbaki

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