Minimalpolynom

Sei LL/KK eine Körpererweiterung und xx ein Element von LL. Ein Minimalpolynom m=minpolKm = \operatorname{minpol}_{K}(xx) von xx über KK ist definiert als normiertes Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in KK, das xx als Nullstelle hat.
Falls ein Minimalpolynom von xx existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element xx heißt algebraisches Element der Erweiterung LL/KK oder algebraisch über KK. Dies erlaubt es, von dem Minimalpolynom zu sprechen.
Falls kein Minimalpolynom von xx existiert, dann heißt xx transzendent über KK.
 
 

Beispiel

Betrachte die Körpererweiterung Q(i)/Q\domQ(\i)/\domQ mit der imaginären Einheit i\i. Das Minimalpolynom von i\i ist x2+1x^2+1, denn es hat i\i als Nullstelle, ist normiert und jedes Polynom kleineren Grades wäre linear und hätte nur eine Nullstelle in Q\domQ.
Das Polynom x3+xx^3+x ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als (x2+1)x(x^2+1)\cdot x darstellen lässt, und für keine seiner Nullstellen ein Polynom kleinsten Grades ist.

Eigenschaften

Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
Jedes Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element xx als Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von xx.
Der Grad des Minimalpolynoms von xx ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung K(x)/KK(x)/K.
Siehe auch: Zerfällungskörper

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

Copyright- und Lizenzinformationen: Diese Seite basiert dem Artikel Minimalpolynom aus der frеiеn Enzyklοpädιe Wιkιpеdιa und stеht unter der Dοppellizеnz GNU-Lιzenz für freie Dokumentation und Crеative Commons CC-BY-SA 3.0 Unportеd (Kurzfassung). In der Wιkιpеdιa ist eine Listе dеr Autorеn des Originalartikels verfügbar. Da der Artikel geändert wurde, reicht die Angabe dieser Liste für eine lizenzkonforme Weiternutzung nicht aus!
Anbieterkеnnzeichnung: Mathеpеdιa von Тhοmas Stеιnfеld  • Dοrfplatz 25  •  17237 Blankеnsее  • Tel.: 01734332309 (Vodafone/D2)  •  Email: cο@maτhepedιa.dе