Minimalpolynom
Sei
L/
K eine
Körpererweiterung und
x ein Element von
L. Ein
Minimalpolynom m=minpolK(
x) von
x über
K ist definiert als normiertes
Polynom kleinsten Grades mit Koeffizienten in
K, das
x als
Nullstelle hat.
Falls ein Minimalpolynom von
x existiert, ist es eindeutig bestimmt, und das Element
x heißt algebraisches Element der Erweiterung
L/
K oder algebraisch über
K. Dies erlaubt es, von
dem Minimalpolynom zu sprechen.
Falls kein Minimalpolynom von
x existiert, dann heißt
x transzendent über
K.
Beispiel
Das
Polynom x3+x ist kein Minimalpolynom irgendeines Elementes irgendeiner Erweiterung, da es sich als
(x2+1)⋅x darstellen lässt, und für keine seiner
Nullstellen ein
Polynom kleinsten Grades ist.
Eigenschaften
Minimalpolynome sind irreduzibel über dem Grundkörper.
Jedes
Polynom mit Koeffizienten im Grundkörper, das ein algebraisches Element
x als
Nullstelle hat, ist ein (Polynom-)Vielfaches des Minimalpolynoms von
x.
Der Grad des Minimalpolynoms von
x ist gleich dem Grad der einfachen Erweiterung
K(x)/K.
Siehe auch: Zerfällungskörper
Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.
David Hilbert
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