Transzendente Zahl

Eine reelle Zahl (oder allgemeiner: eine komplexe Zahl) \(\displaystyle x\) heißt transzendent, wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen (endlichen) Grades
\(\displaystyle a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x + a_{0} = 0 \)
für \(\displaystyle n = 1\) mit ganzzahligen oder allgemein algebraischen Koeffizienten \(\displaystyle a_{k}\) auftreten kann, wobei \(\displaystyle a_{n}\) ? 0 gelten soll. Andernfalls handelt es sich um eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational.
 
 

Transzendenzbeweise von \(\displaystyle \e\) und \(\displaystyle \pi\)

Die ursprünglichen Beweise der Transzendenz von \(\displaystyle e\) und \(\displaystyle \pi\) stammen von Charles Hermite bzw. von Ferdinand von Lindemann. Die Beweise sind allerdings nur sehr schwer nachzuvollziehen. Im Laufe der Zeit gab es aber immer wieder Vereinfachungen dieser Beweise. Einen sehr "eleganten" Beweis veröffentlichte der berühmte Mathematiker David Hilbert (1862-1943) im Jahre 1893 in seinem Aufsatz "Über die Transcendenz der Zahlen \(\displaystyle e\) und \(\displaystyle \pi\)". Siehe Beweis der Transzendenz von e und p im Beweisarchiv

Beispiele für transzendente Zahlen

  • \(\displaystyle \pi\) = 3,1415926535897932384626433832795... Die Transzendenz von \(\displaystyle \pi\), welche durch Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde, ist auch der Grund für die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises.
  • \(\displaystyle \e\) = 2,7182818284590452353602874713526..., die Eulersche Zahl, deren Transzendenz 1873 von Charles Hermite bewiesen werden konnte.
  • \(\displaystyle \e^{a}\) für algebraisches a ? 0. Siehe auch Satz von Lindemann-Weierstraß.
  • \(\displaystyle 2^{\sqrt{2}}\). Allgemeiner konnte Gelfond 1934 zeigen: Ist \(\displaystyle 0 \neq a \neq 1\), \(\displaystyle a\) algebraisch, \(\displaystyle b\) algebraisch und irrational, dann ist \(\displaystyle a^{b}\) eine transzendente Zahl. Dies ist eine Teillösung von Hilberts siebtem Problem. Ob der obige Satz auch für transzendente \(\displaystyle b\) wahr ist, blieb bisher ungeklärt.
  • \(\displaystyle \sin(1)\)
  • \(\displaystyle \ln(a)\) für rationales positives \(\displaystyle a \neq 1\)
  • \(\displaystyle G(1/3)\) und \(\displaystyle G(1/4)\) (siehe Gammafunktion)
  • \(\displaystyle \sum\limits_{k=0}^{\infty}10^{-\lfloor\beta^{k}\rfloor}\, \) \(\displaystyle ,\beta > 1\). Die Klammer \(\displaystyle \lfloor \, \rfloor\) ist hierbei die Gaußklammer.

Verallgemeinerung

Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen \(\displaystyle L\)/\(\displaystyle K\) betrachtet man ebenfalls Elemente in \(\displaystyle L\), die algebraisch oder transzendent über \(\displaystyle K\) sind. Siehe dazu Algebraisch.

Literatur

  • P. Bundschuh Zahlentheorie. Heidelberg, Springer 1998, 4. Aufl., ISBN 3-540-43579-4. Bietet einen einführenden Überblick zum Thema "transzendente Zahlen" an.
  • A. Baker Transcendental number theory. Cambridge, Cambridge University Press 1990 (Nachdruck), ISBN 052139791X. Ein anspruchvolles Standardwerk, das tiefgreifende Theoreme entwickelt, aber profundes Vorwissen voraussetzt.
  • A. Shidlovskii Transcendental numbers. Berlin, de Gruyter 1989, ISBN 3-11-011568-9. Besser lesbar als das Buch von Baker, dennoch ähnlich fundiert.
  • A. Jones, S. Morris, K. Pearson Abstract Algebra and Famous Impossibilities. New York, Springer 1994, 2. Aufl., ISBN 0-387-97661-2. Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises für p.
  • D. Hilbert Über die Transcendenz der Zahlen \(\displaystyle e\) und \(\displaystyle \pi\). Mathematische Annalen 43, 216-219 (1893).

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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