Gammafunktion

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Die Gammafunktion wird durch folgendes Parameterintegral definiert:
Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt\Gamma(x)=\int\limits_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t
für x>0x > 0. Sie erweitert die Fakultätsfunktion auf die positiven reellen Zahlen und dient als Grundlage für die Definition der Gamma-Wahrscheinlichkeitsverteilung. Sie lässt sich als meromorphe Funktion auf die komplexe Zahlenebene mit einfachen Polen in den nichtpositiven ganzen Zahlen fortsetzen. Die Gammafunktion besitzt keine Nullstellen.
Für ganzzahlige positive Werte gilt
Γ(n)=(n−1)! \Gamma(n)=(n-1)! \ ,
was sich aus der Funktionalgleichung
Γ(x+1)=x⋅Γ(x)\Gamma(x+1) = x\cdot\Gamma(x)
induktiv ergibt.

Darstellungsformen

Eine weitere Ausweitung des Definitionsbereichs erlaubt die Darstellung der Gammafunktion nach Gauß:
Γ(x)=lim⁡n→∞n! nxx(x+1)(x+2)⋯(x+n)\Gamma(x) = \lim_{n \to \infty} \dfrac{n!\, n^x}{x(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}
für x∈R\{0,−1,−2,… } x \in \mathbb{R}\backslash \{0, -1, -2, \dots\}\,
Direkt aus der Gaußschen Darstellungsform abgeleitet ist diejenige von Karl Weierstraß:
Γ(x)=[x⋅eγx⋅∏k=1∞(1+xk)e−x/k]−1,\Gamma(x) = \ntxbraceL{ x \cdot \mathrm{e}^{\gamma x} \cdot \prod\limits_{k=1}^{\infty} \braceNT{1+\dfrac{x}{k}}\mathrm{e}^{-x/k} }^{-1},
wobei die Euler-Mascheroni-Konstante γ\gamma definiert ist als
γ=lim⁡n→∞(∑k=1n1k−ln⁡n) \gamma = \lim_{n \to \infty} \braceNT{ \sum\limits_{k=1}^n \dfrac{1}{k} - \ln n }\,
Näherungswerte der Gammafunktion für x>0x > 0 liefert die Stirlingsche Formel da
n!=Γ(x+1)=2πxxx+1/2ex−μ(x)n! = \Gamma(x+1) = \sqrt{2\pi x}\dfrac{x^{x+1/2}}{\mathrm{e}^{x-\mu(x)}}
folgt für die Gammafunktion.
Γ(x)=2πxxx−1/2ex−μ(x)\Gamma(x) = \sqrt{2\pi x}\dfrac{x^{x-1/2}}{\mathrm{e}^{x-\mu(x)}}
mit 0<μ(x)<112x0 < \mu(x) < \dfrac{1}{12x}

Der Satz von Bohr-Mollerup

Der Satz von Bohr-Mollerup (H. Bohr und J. Mollerup, 1922) erlaubt eine erstaunlich einfache Charakterisierung der Gammafunktion:
Eine Funktion G ⁣:R>0→R>0G\colon\mathbb R_{>0}\to\mathbb R_{>0} ist in diesem Bereich gleich der Gammafunktion, wenn folgende Eigenschaften erfüllt sind:
  1. G(1)=1 G(1)=1 \
  2. G(x+1)=x⋅G(x)G(x+1)=x\cdot G(x)
  3. G G \ ist logarithmisch konvex, d.h. x↦log⁡G(x)x\mapsto\log G(x) ist eine konvexe Funktion.

Funktionalgleichungen

Der Ergänzungssatz der Gammafunktion
Γ(x)Γ(1−x)=πsin⁡πx\Gamma(x)\Gamma(1-x) = \dfrac{\pi}{\sin \pi x}
erleichtert die Berechnung von Werten der Gammafunktion aus bereits bekannten Funktionswerten ebenso wie die Legendresche Verdopplungsformel
Γ(x2)Γ(x+12)=π2x−1Γ(x) \Gamma\braceNT{\dfrac{x}{2}}\Gamma\braceNT{\dfrac{x+1}{2}} = \dfrac{\sqrt{\pi}}{2^{x-1}}\Gamma(x)\,

Verallgemeinerung: Unvollständige Gammafunktion

Wenn die obere Integrationsgrenze des Integrals ein fester, endlicher Wert ist, spricht man von der unvollständigen Gammafunktion:
γ(x,y)=∫0ytx−1e−t dt\gamma(x,y)=\int\limits_0^y t^{x-1} e^{-t}\, \mathrm{d}t

Geschichtliches

1730 stellte Leonhard Euler in einem Brief an Christian Goldbach folgendes Integral zur Interpolation der Fakultätsfunktion vor:
Γ(x)=∫01[ln⁡(1t)]x−1dt\Gamma(x) = \int\limits_0^1 \ntxbraceL{\ln\braceNT{\dfrac{1}{t}}}^{x-1} \mathrm{d}t
(diese Funktionsdefinition geht durch die Substitution u=ln⁡(1/t)u = \ln (1/t) in die obige Form über)
Dieses Integral entdeckte Euler bei der Untersuchung eines Problems aus der Mechanik, bei dem die Beschleunigung eines Partikels betrachtet wird.
 
 

Miß alles, was sich messen läßt, und mach alles meßbar, was sich nicht messen läßt.

Galileo Galilei

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