Betafunktion

Die Betafunktion (auch Eulersche Beta-Funktion, Eulersches Integral 1. Art) ist eine mathematische Funktion zweier positiver reeller oder zweier komplexer Zahlen xx und yy mit positivem Realteil, die durch
Beta(x,y)=∫01tx−1(1−t)y−1 dt\mathrm{Beta}(x,y)=\int\limits_0^1 t^{x-1} (1-t)^{y-1} \, \mathrm{d}t
oder alternativ
Beta(x,y)=∫0∞ux−1(1+u)x+y du\mathrm{Beta}(x,y)=\int\limits_0^\infty \dfrac{u^{x-1}}{{(1+u)}^{x+y}} \, \mathrm{d}u
definiert ist. Sie wird häufig auch mit einem großen Beta bezeichnet: B(x,y) \mathrm B(x,y)\,
Sie ist als eigenständige Funktion von geringem Interesse, da sie sich durch die intensiv studierte Gammafunktion ausdrücken lässt:
Beta(x,y)=Γ(x)⋅Γ(y)Γ(x+y)\mathrm{Beta}(x,y)=\dfrac{\Gamma(x) \cdot \Gamma(y)}{\Gamma(x+y)}
An dieser Darstellung kann man auch ablesen, dass die analytische Fortsetzung der Betafunktion Pole genau entlang x=kx=k und y=ky=k für ganze Zahlen k≤0k\leq0 hat.
Siehe auch: Betaverteilung
 
 

Das Buch der Natur ist mit mathematischen Symbolen geschrieben.

Galileo Galilei

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