Pochhammer-Symbol

Das Pochhammer-Symbol ist eine spezielle Funktion die in der Kombinatorik und in der Theorie der hypergeometrischen Funktionen verwendet wird. Der Name geht auf Leo August Pochhammer zurück.

Notation

Für das Symbol, das diese Funktion repräsentiert sind verschiedene Varianten gebräuchlich:
x(n)x^{(n)} (u.a. in der Kombinatorik)
(x,n),(x)n(x,n),(x)_{n} (Analysis, spezielle Funktionen)
(xn)(x^n) (weitere Varianten)
In der Theorie der speziellen Funktionen wird mit
(x)n(x)_n \,
die steigenden Faktoriellen bezeichnet
(x)n=x(x+1)(x+2)(x+n1)=(x+n1)!(x1)!(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\dfrac{(x+n-1)!}{(x-1)!},
hingegen wird in der Kombinatorik damit die fallenden Faktoriellen bezeichnet
(x)n=x(x1)(x2)(xn+1)=x!(xn)!(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\dfrac{x!}{(x-n)!}\,
Um eine Verwechslung zu vermeiden, wird oftmals (x)n(x)^n für die steigenden und (x)n(x)_n für die fallenden Faktoriellen verwendent. Des weiteren gibt es eine neue Notation für die steigenden bzw. fallenden Faktoriellen, welche von Ronald L. Graham, Donald E. Knuth und Oren Patashnik in ihren Buch Concrete Mathematics eingeführt wurde. Für die steigenden Faktoriellen schreiben sie
xn=(x+n1)!(x1)!x^{\overline{n}}=\dfrac{(x+n-1)!}{(x-1)!},
und für die fallenden Faktoriellen
xn=x!(xn)!x^{\underline{n}}=\dfrac{x!}{(x-n)!}.

Definition im Sinne der speziellen Funktionen

Das Pochhammer-Symbol wird im Allgemeinen über die Gamma-Funktion definiert,
(x,n)Γ(x+n)Γ(x)(x,n) \equiv \dfrac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}
beschränkt man sich jedoch auf natürliche Zahlen, so vereinfacht sich die Definition auf
(m,n)m(m+1)(m+n1);(m,nN)(m,n) \equiv m (m+1) \dots (m+n-1) ;\quad(m,n \in \mathbb{N})

Eigenschaften

  • Das Pochhammer-Symbol ist meromorphe Funktion
  • Ist nNn \in \mathbb{N}, so kann (x,n)(x,n) als Polynom in x dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei x=0x=0.
  • Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen
(x,n)=(1)n1(1x,n)(x,-n) = (-1)^n \dfrac{1}{(1-x,n)}
  • Divisionsregel
(x,n)(x,m)=(x+m,nm);n>m\dfrac{(x,n)}{(x,m)} = (x+m,n-m) ;\quad n>m
(x,n)(x,m)=(x+n,mn);m>n\dfrac{(x,n)}{(x,m)} = (x+n,m-n) ;\quad m>n
  • spezielle Werte
(1,n)=n!(1,n) = n!
(1/2,n)=2n(2n1)!!(1/2,n) = 2^{-n} (2n-1)!!
(0,0)=1(0,0) = 1
 
 

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

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