Pochhammer-Symbol

Notation

$x^{(n)}$ (u.a. in der Kombinatorik)

$(x,n),(x)_{n}$ (Analysis, spezielle Funktionen)

$(x^n)$ (weitere Varianten)

$(x)_n \,$

$(x)_n=x(x+1)(x+2)\cdots(x+n-1)=\dfrac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$,

$(x)_n=x(x-1)(x-2)\cdots(x-n+1)=\dfrac{x!}{(x-n)!}\,$

$x^{\overline{n}}=\dfrac{(x+n-1)!}{(x-1)!}$,

$x^{\underline{n}}=\dfrac{x!}{(x-n)!}$.

Definition im Sinne der speziellen Funktionen

$(x,n) \equiv \dfrac{\Gamma (x+n)}{\Gamma(x)}$

$(m,n) \equiv m (m+1) \dots (m+n-1) ;\quad(m,n \in \mathbb{N})$

Eigenschaften

• Das Pochhammer-Symbol ist meromorphe Funktion
• Ist $n \in \mathbb{N}$, so kann $(x,n)$ als Polynom in x dargestellt werden. Diese haben eine gemeinsame Nullstelle bei $x=0$.
• Zusammenhang zwischen Koeffizienten verschiedener Vorzeichen

$(x,-n) = (-1)^n \dfrac{1}{(1-x,n)}$

• Divisionsregel

$\dfrac{(x,n)}{(x,m)} = (x+m,n-m) ;\quad n>m$

$\dfrac{(x,n)}{(x,m)} = (x+n,m-n) ;\quad m>n$

• spezielle Werte

$(1,n) = n!$

$(1/2,n) = 2^{-n} (2n-1)!!$

$(0,0) = 1$

Man darf nicht das, was uns unwahrscheinlich und unnatürlich erscheint, mit dem verwechseln, was absolut unmöglich ist.

Carl Friedrich Gauß

Spezielle Funktionen

• Parameterintegrale
  • Gammafuntion
  • Betafunktion
  • Pochhammer-Symbol
  • Digamma-Funktion
• Spezielle Polynome
• Elliptisches Integral