Digamma-Funktion

Die Digamma-Funktion ist in der Mathematik eine Funktion, die definiert wird als:
ψ(x)=ddxlog⁡Γ(x)=Γ′(x)Γ(x)\psi(x) = \dfrac{\mathrm d}{\mathrm d x}\log\Gamma(x) = \dfrac{\Gamma'(x)}{\Gamma(x)}
Sie ist also die logarithmische Ableitung der Gammafunktion. Die Digamma-Funktion ist die erste der Polygamma-Funktionen.

Berechnung

Die Digamma-Funktion, meist als ψ0(x), ψ0(x)\psi _{0}(x),\, \psi ^{0}(x) oder F (nach der Form des veralteten griechischen Buchstabens Ϝ digamma) bezeichnet, kann durch das Integral
ψ(x)=∫0∞(e−tt−e−xt1−e−t) dt\psi(x) = \int\limits_0^{\infty}\braceNT{\dfrac{e^{-t}}{t} - \dfrac{e^{-xt}}{1 - e^{-t}}} \, dt
berechnet werden.

Rekursionsformel

Die Digamma-Funktion genügt einer ähnlichen Funktionalgleichung wie die der Gammafunktion,
ψ(1−x)−ψ(x)=π  ⁣cot⁡πx\psi(1 - x) - \psi(x) = \pi \, \!\cot{ \pi x}
mit welcher allerdings nicht ψ\psi (1/2) berechnet werden kann; dieser Wert ist unten angegeben. Die Digamma-Funktion genügt der Rekursionsformel
ψ(x+1)=ψ(x)+1x \psi(x + 1) = \psi(x) + \dfrac{1}{x}\,

Besondere Werte

Die Digamma-Funktion hat folgende besondere Werte:
ψ(1)=−γ  \psi(1) = -\gamma \,
ψ(12)=−2ln⁡2−γ \psi\braceNT{\dfrac{1}{2}} = -2\ln{2} - \gamma
ψ(13)=−π23−32ln⁡3−γ \psi\braceNT{\dfrac{1}{3}} = -\dfrac{\pi}{2\sqrt{3}} -\dfrac{3}{2}\ln{3} - \gamma
ψ(14)=−π2−3ln⁡2−γ \psi\braceNT{\dfrac{1}{4}} = -\dfrac{\pi}{2} - 3\ln{2} - \gamma
ψ(16)=−π23−2ln⁡2−32ln⁡(3)−γ \psi\braceNT{\dfrac{1}{6}} = -\dfrac{\pi}{2}\sqrt{3} -2\ln{2} -\dfrac{3}{2}\ln(3) - \gamma
 
 

An Archimedes wird man sich erinnern, wenn Aischylos vergessen ist - weil zwar die Sprachen sterben, nicht aber die mathematischen Ideen.

Godfrey Harold Hardy

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