Parameterintegral

Einige Integrale in der Analysis lassen sich elementar nicht ausdrücken. Ferner gibt es so genannte Parameterintegrale, wie beispielsweise die Gammafunktion.

Bezeichnung des Parameterintegrals

Sei E⊆RnE \subseteq \mathbb{R}^n messbar und E≠∅E \neq \varnothing. Ferner sei ∅≠D⊆Rn\varnothing \neq D \subseteq \mathbb{R}^n und f:D×E→Rf : D \times E \to \mathbb{R}. Für f(x,t)f(x, t) ist x∈Dx \in D und t∈Et \in E. ff ist bezüglich tt integrierbar über EE . Dann heißt F:D→RF : D \to \mathbb{R}
F(x)=∫Ef(x,t)dtF(x) = \int\limits_E f(x,t)\mathrm{d}t
Parameterintegral (auch Parameter-Integral) mit dem Parameter xx.
 
 

Beispiel für Parameterintegrale

Die Gammafunktion
Γ(x)=∫0∞tx−1e−tdt \Gamma(x)=\int\limits_0^\infty t^{x-1} e^{-t} \mathrm{d}t\,

Differenzieren des Parameterintegrals

Sind für das Paramterintegral feste Grenzen vorgegeben, kann man es nach folgender Regel ableiten:
(Die Stetigkeit der Funktion ff und ftf_t vorausgesetzt)
ddt∫abf(x,t)dx=∫abft(x,t)dx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t} \int\limits_a^b f(x,t)\mathrm{d}x = \int\limits_a^b f_t(x,t)\mathrm{d}x

Leibnizregel für Parameterintegrale

Für die Praxis ist auch relevant, wie man Parameterintegrale mit abhängigen Funktion von tt in den Grenzen ableitet. Nach der Regel von Leibniz (Leibnizregel, auch Leibniz-Regel) geschieht das nach folgendem Verfahren:

Satz

Für stetig differenzierbare Funktionen χ\chi, φ\varphi und ff gilt
ddt∫χ(t)φ(t)f(x,t)dx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x =∫χ(t)φ(t)ft(x,t)dx+f(φ(t),t)φ′(t)−f(χ(t),t)χ′(t) = \int\limits\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f_t(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t)\varphi'(t) - f(\chi(t),t) \chi'(t)\,
oder in Differentialschreibweise nach Leibniz
ddt∫χ(t)φ(t)f(x,t)dx\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\int\limits\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} f(x,t)\mathrm{d}x =∫χ(t)φ(t)∂∂tf(x,t)dx+f(φ(t),t)ddtφ(t)−f(χ(t),t)ddtχ(t)  = \int\limits\limits_{\chi(t)}^{\varphi(t)} \dfrac{\partial}{\partial t}f(x,t) \mathrm{d}x + f(\varphi(t),t) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\varphi(t) - f(\chi(t),t) \dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\chi(t)\,

Es gibt Dinge, die den meisten Menschen unglaublich erscheinen, die nicht Mathematik studiert haben.

Archimedes

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