Euler-Mascheroni-Konstante

Die Euler-Mascheroni-Konstante (nach Leonhard Euler und Lorenzo Mascheroni) ist eine mathematische Konstante, die als der Grenzwert mit der harmonischen Reihe festgelegt ist.

Von Leonhard Euler mit dem Buchstaben $c$ bezeichnet, wird die Euler-Mascheroni-Konstante heute allgemein mit dem griechischen Buchstaben $\gamma$ notiert. Sie ist nicht zu verwechseln mit der Eulerschen Zahl $\e$.

Ihr Wert wird wie folgt angegeben:

Trotz großer Anstrengungen ist es bis heute unbewiesen, ob diese Zahl rational oder irrational, ob sie algebraisch oder transzendent ist. Es wird aber stark vermutet, dass sie wie $\pi$ zumindest eine irrationale Zahl ist. Den ersten konkreten Beweisversuch hierzu hat 1926 Paul Emile Appell mit Hilfe der unten genannten Entwicklung von Joseph Ser unternommen.

Im Gegensatz zur Kreiszahl $\pi$, die jeweils bei Umfang und Fläche eines Kreises mit rationalem Radius auftritt, ist für die Eulersche Konstante außerhalb der Mathematik kein Beispiel eines direkten Vorkommens bekannt. Natürlich gibt es viele praktische Probleme, die auf die Summierung der endlichen harmonischen Reihe $H_n$ führen (wie z.B. das Problem der optimalen Sitzreihen-Erhöhung in Theatern, Kinos,...). Da es sich immer um endlich viele Sitzreihen handelt, kommt kein Grenzübergang $n\to\infty$ zustande, der für das Auftreten von $\gamma$ erforderlich wäre. (Beim Kreis, der aus unendlich vielen Punkten gebildet wird, ist ein solcher Grenzprozeß bereits enthalten.)

Die Eulersche Konstante tritt in der Mathematik sehr häufig und manchmal auch ganz unerwartet in unterschiedlichen Teilgebieten auf. Hauptsächlich tritt sie bei Grenzwertprozessen der Differential- und Integralrechnung auf. Das Auftreten läßt sich (wie auch bei anderen mathematischen Konstanten) so unterteilen:

1. Als Funktionswert oder Grenzwert von Speziellen Funktionen. Der Wert $\gamma$ ist die negative Ableitung der Gammafunktion an der Stelle 1, also $\Gamma'(1)=-\gamma$.

$\lim_{s\to 1}\braceNT{\zeta(s)-\dfrac{1}{s-1}}=\gamma$. Hierbei bezeichnet $\zeta(s)$ die Riemannsche Zeta-Funktion.

2. In Entwicklungen spezieller Funktionen, z.B. bei der Reihenentwicklung des Integrallogarithmus von Leopold Schendel.

3. Integraldarstellungen. Hier gibt eine äußerst reichhaltige Fülle, z.B.:

$\gamma = -\int\limits_0^1 \ln(-\ln(x))\cdot \d x$

$\gamma = -\int\limits_0^\infty e^{-x}\ln\, x\cdot \d x$

4. Reihendarstellungen sind im Gegensatz zu $\pi$ prinzipiell seltener. Als Beispiele von Reihen mit rationalen Gliedern sind nur die Reihen von Euler, Vacca, Ramanujan und Joseph Ser bekannt. An Reihen mit irrationalen Gliedern gibt es unzählige Variationen deren Glieder aus rational gewichteten Werten der Riemannschen Zetafunktion $\zeta(2), \zeta(3), \dots$ bestehen.