Reziproke Primzahlen als divergente Reihe

Aus Beispiel 12Q9 wissen wir, dass die harmonische Reihe divergiert. Man kann sogar die stärkere Behauptung zeigen, dass schon die Reihe bestehend aus den Kehrwerten der Primzahlen divergiert.

Sei $\dom P$ die Menge der Primzahlen. Dann divergiert die Reihe

Diese Behauptung geht schon auf Leonard Euler zurück, der sie mittels der Transformation eines unendlichen Produktes in die Summe bewies.

Wir benutzen einen auf Paul Erdös angegebenen Beweis und führen den Beweis indirekt. Dazu nehmen wir an, dass die Reihe (1) konvergiert.

Seien die Primzahlen in (1) in aufsteigender Reihenfolge $p_1$, $p_2$,... gegeben. Wegen der Konvergenz muss es ein $m\in \N$ geben, so dass gilt:

und für eine beliebige natürliche Zahl $N>0$:

Wir wollen jetzt die Primzahlen $\{p_1,p_2,\dots, p_m\}$ die kleinen Primzahlen nennen und die $\{p_{m+1},p_{m+2},\dots \}$ entsprechend die großen Primzahlen. Weiterhin sei $N_G$ die Anzahl der Zahlen $n\leq N$, die durch mindestens eine große Primzahl teilbar sind und $N_K$ die Anzahl der positiven Zahlen $n\leq N$, die nur durch kleine Primzahlen teilbar sind. Mit diesen Festlegungen muss offensichtlich

gelten.

Um $N_G$ anzuschätzen, überlegen wir, dass $\brFloor{N/p_k}$ (Gaußklammer) die Vielfachen von $p_k$ abzählt und mit (2) ergibt sich:

Für die Abschätzung von $N_K$ betrachten wir die Produktdarstellung der $n$ in der Form $n=a_nb_n^2$. Dabei ist $a_n$ das Produkt alle nicht quadratisch auftretenden Primfaktoren und $b_n$ dementsprechend das Produkt aller quadratisch auftretenden Primfaktoren. Alle auftretenden Primzahlen sind klein gemäß der obigen Festlegung. Für den quadratfreien Teil gibt es demnach höchstens $2^m$ Möglichkeiten. Wegen $b_n\leq\sqrt n\leq \sqrt N$ gibt es höchstens $\sqrt N$ verschiedene Quadratteile. Also

Die echte Ungleichung (4) gilt für alle $N$ und zusammen mit (3) folgt:

Mit (5) reicht es aus, eine Zahl $N$ zu finden, für die gilt: $2^m\sqrt N\leq \dfrac N 2$. Nun ist aber $N=2^{2m+2}$ eine solche Zahl. Damit haben wir einen Widerspruch herbeigeführt und damit ist die Reihe (1) divergent. $\qed$