Algebraische Zahlen

Als algebraische Zahl $x$ wird die Nullstelle eines Polynoms der folgenden Form bezeichnet.

Dabei sind die $a_k\in \Q$ rationale Koeffizienten.

Die so definierten algebraischen Zahlen bilden eine Teilmenge der komplexen Zahlen. Dabei sind alle rationalen Zahlen $a$ algebraisch, da sie die Gleichung $x - a = 0$ lösen. Eine reelle oder allgemeiner komplexe Zahl, die nicht algebraisch ist, heißt transzendent.

Die ebenfalls gebräuchliche Definition der algebraischen Zahlen als Nullstellen von Polynomen mit ganzzahligen Koeffizienten ist äquivalent zur oben angegebenen. Jedes Polynom mit rationalen Koeffizienten kann durch Multiplikation mit dem Hauptnenner der Koeffizienten in eines mit ganzzahligen Koeffizienten umgewandelt werden. Die Nullstellen sind in beiden Darstellungen des Polynoms identisch.

Polynome mit rationalen Koeffizienten kann man normieren, indem man alle Koeffizienten durch den Koeffizienten $a_n$ dividiert. Nullstellen von normierten Polynomen, deren Koeffizienten ganzzahlig sind, nennt man ganzalgebraische Zahlen.

Für viele Untersuchungen algebraischer Zahlen ist der im folgenden definierte Grad und das Minimalpolynom einer algebraischen Zahl wichtig.

Ist $x$ eine algebraische Zahl, die eine algebraische Gleichung

mit $n \geq 1$, $a_k \in \mathbb{Q}$ erfüllt, aber keine derartige Gleichung geringeren Grades, dann nennt man $n$ den Grad der algebraischen Zahl $x$. Damit sind alle rationalen Zahlen vom Grad 1.

Die Zahl $n$ ist gleichzeitig der Grad des Polynoms $f$, dem so genannten Minimalpolynom von $x$.

Beispielsweise ist $\sqrt{2}$ eine algebraische Zahl, denn sie ist eine Lösung der Gleichung $x^2 - 2 = 0$. Ebenso ist die imaginäre Einheit $\i$ als Lösung von $x^2 + 1 = 0$ algebraisch.

Gegen Ende des 19. Jahrhunderts wurde bewiesen, dass die Kreiszahl $\pi$ und die Eulersche Zahl $\e$ nicht algebraisch sind. Von anderen Zahlen, wie zum Beispiel $\pi + e$, weiß man bis heute nicht, ob sie algebraisch oder transzendent sind.

Die Menge der algebraischen Zahlen ist abzählbar und bildet einen Körper.

Der Körper der algebraischen Zahlen ist algebraisch abgeschlossen, d. h. jedes Polynom mit algebraischen Koeffizienten besitzt nur algebraische Nullstellen. Dieser Körper ist ein minimaler algebraisch abgeschlossener Oberkörper von $\mathbb Q$, und ist damit ein algebraischer Abschluss von $\mathbb Q$. Man schreibt ihn oft als $\overline{\mathbb Q}$ (für "Abschluss von Q"; verwechselbar mit anderen Abschlussbegriffen) oder als $\mathbb A$ (für "Algebraische Zahlen"; seltener verwendet).

Dieser Körper hat viele Automorphismen, und jeder davon liefert eine Einbettung in die komplexen Zahlen $\mathbb C$. Das heißt, es gibt keine kanonische Einbettung, sondern man hat bei der Zuordnung von algebraischen Zahlen zu komplexen Zahlen gewisse Freiheiten. So kann man z.B. die Nullstellen des Polynoms $x^2+1$ innerhalb des Körpers der algebraischen Zahlen nicht voneinander unterscheiden und man hat die Wahl, welche der beiden man als imaginäre Einheit $\i$ bezeichnet. Die andere Nullstelle dieses Polynoms ist dann eindeutig bestimmt und hat den Wert $-\i$. Aber auch nach dieser Festlegung hat man für andere Polynome noch Freiheiten, ihre Nullstellen auf komplexe Zahlen abzubilden.

Oberhalb des Körpers der rationalen Zahlen und unterhalb des Körpers der algebraischen Zahlen befinden sich unendlich viele Zwischenkörper; etwa die Menge aller Zahlen der Form $a + b\cdot q$, wobei $a$ und $b$ rationale Zahlen sind, und $q$ die Quadratwurzel einer rationalen Zahl $r$ ist. Auch der Körper der mit Zirkel und Lineal aus $\{0,1\}$ konstruierbaren Punkte der komplexen Zahlenebene ist ein solcher algebraischer Zwischenkörper.

Im Rahmen der Galoistheorie werden diese Zwischenkörper untersucht, um so tiefe Einblicke über die Lösbarkeit oder Nicht-Lösbarkeit von Gleichungen zu erhalten. Ein Resultat der Galoistheorie ist, dass zwar jede komplexe Zahl algebraisch ist, die man aus rationalen Zahlen durch Verwendung der Grundrechenarten +,-,*,/ und Ziehen $n$-ter Wurzeln ($n$ eine natürliche Zahl) erhalten kann (man nennt solche Zahlen "durch Radikale darstellbar"), umgekehrt aber algebraische Zahlen existieren, die man nicht in dieser Weise darstellen kann; alle diese Zahlen sind Nullstellen von Polynomen des Grades = 5.

Algebraische Zahlen, die sogar Nullstellen eines normierten Polynoms mit ganzzahligen Koeffizienten sind, heißen algebraische Ganzzahlen oder ganzalgebraische Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen, die rational sind, sind genau die ganzen Zahlen. Die ganzalgebraischen Zahlen bilden einen Unterring der algebraischen Zahlen. Zur Ganzheit allgemein siehe Ganzheit (kommutative Algebra).