Geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal
Eine
Konstruktion ist die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer Figur auf der Grundlage vorgegebener Größen.Dabei wird die Beschränkung auf die Verwendung der "Euklidischen Werkzeuge"
Zirkel und Lineal gefordert, wobei letzteres keine Markierungen hat. Man kann damit also nur
Geraden zeichnen, aber keine
Strecken abmessen.
Euklidische Werkzeuge und Grundkonstruktionen
Die Beschränkung auf die "euklidischen Werkzeuge" leitete sich aus den Postulaten ab, die Euklid am Anfang seines Lehrbuches "Die Elemente" zusammengestellt hatte. Daraus ergeben sich als einzige zugelassene Anwendungen dieser Werkzeuge:
- das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene Punkte,
- das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft, und
- das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie.
Ein Beispiel wäre die Konstruktion eines
Dreiecks aus drei Vorgaben, etwa zweier Seiten und eines
Winkels.
Konstruktion algebraischer Operationen
Mit Zirkel und Lineal kann man auch die folgenden algebraischen Operationen (das heißt deren Ergebnis in der Darstellung auf dem Zahlenstrahl) konstruieren:
Unmögliche Konstruktionen
Viele geometrische Figuren können nicht allein mit
Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken
Mathematik:
sowie
Der Beweis, dass diese Probleme
grundsätzlich nicht mit
Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der "klassischen" Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren
Geometrie entdeckten.
Näherungskonstruktion
Für einige Figuren, die mit
Zirkel und Lineal nicht konstruiert werden können oder für die die Konstruktion zu aufwändig ist, gibt es Möglichkeiten, diese zumindest näherungsweise zu konstruieren. Diese Näherungskonstruktionen kommen der wahren Figur oder dem wahren Objekt sehr nahe. Bekannte Näherungskonstruktionen sind zum Beispiel die Näherungskonstruktion für die
Kreiszahl Pi, die Näherungskonstruktion für die
Quadratur des Kreises, die Näherungskonstruktion für das regelmäßige
Siebeneck und die Näherungskonstruktion für das regelmäßige
Neuneck.
Manche Menschen haben einen Gesichtskreis vom Radius Null und nennen ihn ihren Standpunkt.
David Hilbert
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