Geometrische Konstruktionen mit Zirkel und Lineal

Eine Konstruktion ist die Entwicklung der exakten zeichnerischen Darstellung einer Figur auf der Grundlage vorgegebener Größen.Dabei wird die Beschränkung auf die Verwendung der "Euklidischen Werkzeuge" Zirkel und Lineal gefordert, wobei letzteres keine Markierungen hat. Man kann damit also nur Geraden zeichnen, aber keine Strecken abmessen.
 
 

Euklidische Werkzeuge und Grundkonstruktionen

Die Beschränkung auf die "euklidischen Werkzeuge" leitete sich aus den Postulaten ab, die Euklid am Anfang seines Lehrbuches "Die Elemente" zusammengestellt hatte. Daraus ergeben sich als einzige zugelassene Anwendungen dieser Werkzeuge:
  • das Ziehen einer Geraden mit unbeschränkter Länge durch zwei beliebig gegebene, voneinander verschiedene Punkte,
  • das Ziehen eines Kreises, der einen beliebig gegebenen Punkt als Mittelpunkt hat und durch einen beliebig gegebenen anderen Punkt verläuft, und
  • das Übertragen bzw. Abschlagen einer Strecke auf einer Geraden oder einer Kreislinie.
Ein Beispiel wäre die Konstruktion eines Dreiecks aus drei Vorgaben, etwa zweier Seiten und eines Winkels.

Konstruktion algebraischer Operationen

Mit Zirkel und Lineal kann man auch die folgenden algebraischen Operationen (das heißt deren Ergebnis in der Darstellung auf dem Zahlenstrahl) konstruieren:

Unmögliche Konstruktionen

Viele geometrische Figuren können nicht allein mit Zirkel und Lineal exakt konstruiert werden. Darunter sind die klassischen Probleme der antiken Mathematik:
sowie
Der Beweis, dass diese Probleme grundsätzlich nicht mit Zirkel und Lineal zu lösen sind, gelang jedoch erst im 19. Jahrhundert. Dennoch bewirkten die Versuche, das Unmögliche zu vollbringen, eine Reihe von Leistungen. Die Griechen fanden einige Lösungen der "klassischen" Probleme mit anderen Hilfsmitteln, wobei sie viele Resultate der höheren Geometrie entdeckten.

Näherungskonstruktion

Für einige Figuren, die mit Zirkel und Lineal nicht konstruiert werden können oder für die die Konstruktion zu aufwändig ist, gibt es Möglichkeiten, diese zumindest näherungsweise zu konstruieren. Diese Näherungskonstruktionen kommen der wahren Figur oder dem wahren Objekt sehr nahe. Bekannte Näherungskonstruktionen sind zum Beispiel die Näherungskonstruktion für die Kreiszahl Pi, die Näherungskonstruktion für die Quadratur des Kreises, die Näherungskonstruktion für das regelmäßige Siebeneck und die Näherungskonstruktion für das regelmäßige Neuneck.

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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