Zentrische Streckung

Unter einer zentrischen Streckung versteht man in der Geometrie eine Abbildung, die alle Strecken in einem bestimmten, gegebenen Verhältnis vergrößert oder verkleinert, wobei die Bildstrecken jeweils zu den ursprünglichen Strecken parallel sind. Zentrische Streckungen sind spezielle Ähnlichkeitsabbildungen.
 
 

Definition

ZentrStreckPos.png
Gegeben seien ein Punkt \(\displaystyle Z\) der Zeichenebene oder des Raumes und eine reelle Zahl \(\displaystyle m \ne 0\). Die zentrische Streckung mit Zentrum \(\displaystyle Z\) und Streckungsfaktor (Abbildungsfaktor) \(\displaystyle m\) ist diejenige Abbildung der Zeichenebene beziehungsweise des Raumes in sich, bei der der Bildpunkt \(\displaystyle P'\) eines Punktes \(\displaystyle P\) folgende Eigenschaften besitzt:
  • \(\displaystyle Z,\, P\) und \(\displaystyle P'\) liegen auf einer Geraden.
  • Für \(\displaystyle m>0\) liegen \(\displaystyle P\) und \(\displaystyle P'\) auf derselben Seite von \(\displaystyle Z\), für \(\displaystyle m<0\) auf verschiedenen Seiten.
  • Die Streckenlänge \(\displaystyle \overline{ZP'}\) ist gleich dem \(\displaystyle |m|\)-fachen der Streckenlänge \(\displaystyle \overline{ZP}\).
ZentrStreckNeg.png
Die beiden Skizzen zeigen die Anwendung zweier zentrischer Streckungen (mit \(\displaystyle m = 3\) und \(\displaystyle m = -0{,}5\)) auf jeweils ein Dreieck ABC.

Eigenschaften

  • Zentrische Streckungen sind geraden- und winkeltreu, aber im Allgemeinen nicht längentreu.
  • Die Bildstrecke einer beliebigen Strecke hat die \(\displaystyle |m|\)-fache Länge.
  • Eine beliebige geometrische Figur wird auf eine Figur mit dem \(\displaystyle m^2\)-fachen Flächeninhalt abgebildet.
  • Ein beliebiger Körper wird auf einen Körper mit dem \(\displaystyle |m|^3\)-fachen Volumen abgebildet.
  • Die zentrischen Streckungen mit einem bestimmten Zentrum bilden algebraisch gesehen eine Gruppe.

Spezialfälle

Für \(\displaystyle m = 1\) ergibt sich die identische Abbildung (Identität), für \(\displaystyle m = -1\) eine Punktspiegelung. Der Fall \(\displaystyle m = 0\) ist nicht erlaubt, da sonst alle Punkte denselben Bildpunkt hätten, nämlich das Zentrum.

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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