Automorphismen

Ein Isomorphismus einer Gruppe GG auf sich wird Automorphismus genannt. Die Menge der Automorphismen einer Gruppe GG wird mit Aut(G)\Aut(G) bezeichnet.

Satz 15J1 (Automorphismengruppe)

Die Automorphismen einer Gruppe Aut(G)\Aut(G) bilden bezüglich der Hintereinanderausführung von Abbildungen ∘\circ eine Gruppe, die so genannte Automorphismengruppe.

Beweis

Alle Bijektionen von GG auf sich bilden nach Beispiel 15XK eine Gruppe. Wir zeigen, dass die Automorphismen darin eine Untergruppe bilden. Dazu müssen wir nur zeigen, dass sie bezüglich ∘\circ abgeschlossen sind.
Seien f,g∈Aut(G)f,g\in \Aut(G) Automorphismen und ⋅\cdot die binäre Operation in GG und x,y∈Gx,y\in G, dann gilt (f∘g)(x⋅y)=(f\circ g)(x\cdot y)= f(g(x)⋅g(y))=f(g(x)\cdot g(y))= f(g(x))⋅f(g(x))=f(g(x))\cdot f(g(x))= (f∘g)(x)⋅(f∘g)(y)(f\circ g)(x)\cdot (f\circ g)(y). Damit ist auch f∘gf\circ g ein Automorphismus. □\qed

Im endlichen Fall ist sofort einsichtig, dass Aut(G)\Aut(G) Untergruppe der symmetrischen Gruppe Sn\bm{S_n} für ein gewisses nn ist. Denn jeder Automorphismus lässt sich als Permutation der Gruppenelemente von GG auffassen.
 
 

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Enquete-Kommission der Amerikanischen Akademie der Wissenschaften

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