Isomorphie

Seien G=(G,∘)\bm G=(G, \circ) und G′=(G′,∘)\bm {G'}=(G', \circ) zwei Gruppen. Diese heißen isomorph genau dann, wenn es eine Abbildung f:G→G′f: G\rightarrow G' mit folgenden Eigenschaften gibt:
  1. ff ist bijektiv, also eine eineindeutige Aufabbildung
  2. ff lässt das Produkt invariant: ∀a,b∈G:f(a∘b)=f(a)∘f(b)\forall a,b \in \bm G : f(a\circ b)=f(a) \circ f(b)
Ein Isomorphismus ist also ein bijektiver Homomorphismus.
Für die Isomorphie von G\bm G und G′\bm {G'} schreibt man G≅G′\bm G \cong \bm {G'}
Durch den Begriff der Isomorphie kann man Eigenschaften einer Gruppe auf eine andere übertragen, ohne sie im Einzelnen beweisen zu müssen. In isomorphen Gruppen gelten die gleichen Eigenschaften. Die Isomorphie legt also Gestaltgleichheit fest.
 
 

Beispiele

Die Resteklassengruppe Zn\dom {Z_n} ist isomorph zur zyklischen Gruppe Cn\bm {C_n}. Den Isomorphismus erhält man, wenn man "logarithmiert", d.h. die Exponenten aus Cn\bm {C_n} als die Zahlen aus Zn\dom {Z_n} auffasst.
Es gilt außerdem Z≅C∞\dom Z \cong \bm {C_\infty}.
Wie man sich leicht überzeugt, ist die zyklische Gruppe C4\bm {C_4} nicht isomorph zur Kleinschen Vierergruppe D2\bm{D_2} ist. Letzte enthält Elemente a≠1a\neq \bm 1, für die gilt, a∘a=1a\circ a=\bm 1, was für kein von 1\bm 1 verschiedenes Element der zyklischen Gruppe gilt.
Wenn ff ein Isomorphismus von G\bm G auf G′\bm {G'}, dann ist die Umkehrabbildung f−1:G′→Gf^{-1}: G' \rightarrow G auch ein Isomorphismus.

Seit die Mathematiker über die Relativitätstheorie hergefallen sind, verstehe ich sie selbst nicht mehr.

Albert Einstein

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