Homomorphismen von Gruppen

Seien GG und HH zwei Gruppen. Eine Abbildung f:G→Hf:G\rightarrow H heißt Gruppenhomomorphismus oder einfach Homomorphismus genau dann, wenn für alle x,y∈Gx,y\in G gilt:
f(x∘y)=f(x)∘f(y)f(x\circ y)=f(x)\circ f(y).
Ein Homomorphismus ist damit eine Abbildung zwischen Gruppen, die mit den Operationen der Gruppen verträglich ist.
Bei den Morphismen haben sich folgende Begriffsbildungen durchgesetzt:
ff ist Monomorphismus   ⟺  \iff ff ist injektiver Homomorphismus
ff ist Epimorphismus   ⟺  \iff ff ist surjektiver Homomorphismus
ff ist Isomorphismus   ⟺  \iff ff ist bijektiver Homomorphismus
ff ist Endomorphismus   ⟺  \iff ff ist Homomorphismus auf sich selbst
ff ist Automorphismus   ⟺  \iff ff ist bijektiver Endomorphismus, also ein Isomorphismus auf sich selbst

Beispiele

Sei R∗=R∖{0}\domR*=\domR\setminus \{0\} und (R∗,⋅)(\domR*,\cdot) die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen.
Die Exponentialfunktion f(x)=e⁡xf(x)=\e^x ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen. Es gilt: f(a+b)=e⁡a+bf(a+b)=\e^{a+b} =e⁡ae⁡b=f(a)⋅f(b)= \e^{a} \e^b=f(a)\cdot f(b)
Sei sgn⁡:R→R\sgn: \dom R \rightarrow \dom R die Signumfunktion wie folgt definiert:
sgn⁡(x)={+1 x>00 x=0−1 x<0\sgn(x)=\ntxbraceKO{\array{ {{+1} \space {x>0}} \\ {0 \space {x=0}} \\ {{-1} \space {x<0}}}}.
Dann ist sgn⁡\sgn ein Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe R+\dom {R^+} in die multiplikative Gruppe {+1, -1}. Dieser Homomorphismus spiegelt gerade die Regeln für die Multiplikation vorzeichenbehafteter Zahlen wider. Der Kern dieses Homomorphismus ist die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen.
In der multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen ist f(x)=1xf(x)=\dfrac 1 x ein Homomorphismus. Es gilt: f(a⋅b)=1a⋅bf(a\cdot b)=\dfrac 1{a\cdot b}=1a⋅1b=f(a)⋅f(b) =\dfrac 1 a\cdot \dfrac 1 b=f(a)\cdot f(b). Da die Abbildung bijektiv ist, handelt es sich sogar um einen Isomorphismus.

Homomorphismen besitzen einige interessante Eigenschaften:

Satz 5213B

Seien GG und HH zwei Gruppen, eGe_G und eHe_H die neutralen Elemente in GG und HH und f:G→Hf: G\rightarrow H ein Homomorphismus. Dann gilt:
  1. f(eG)=eHf(e_G)=e_H
  2. f(a−1)=f(a)−1f(a^\me)=f(a)^\me für alle a∈Ga\in G
Homomorphismen überführen neutrale Elemente in neutrale Elemente und inverse Elemente in inverse.

Beweis

(i) f(eG)=f(eG∘eG)=f(eG)∘f(eG)f(e_G)= f(e_G\circ e_G)=f(e_G)\circ f(e_G). Es kann in HH nur ein Element mit einer solchen Eigenschaft geben, das neutrale Element eHe_H, womit also gilt: f(eG)=eHf(e_G)=e_H.
(ii) Für ein a∈Ga\in G gilt: eH=f(eG)=f(a∘a−1)=f(a)∘f(a−1)e_H=f(e_G)=f(a\circ a^{-1})=f(a)\circ f(a^{-1}). Multiplizieren wir von links mit f(a)−1f(a)^{-1} ergibt sich die Behauptung: f(a−1)=f(a)−1f(a^{-1})=f(a)^{-1} □\qed
 
 

Die Mathematik als Fachgebiet ist so ernst, daß man keine Gelegenheit versäumen sollte, dieses Fachgebiet unterhaltsamer zu gestalten.

Blaise Pascal

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