Homomorphismen von Gruppen

Seien \(\displaystyle G\) und \(\displaystyle H\) zwei Gruppen. Eine Abbildung \(\displaystyle f:G\rightarrow H\) heißt Gruppenhomomorphismus oder einfach Homomorphismus genau dann, wenn für alle \(\displaystyle x,y\in G\) gilt:
\(\displaystyle f(x\circ y)=f(x)\circ f(y)\).
Ein Homomorphismus ist damit eine Abbildung zwischen Gruppen, die mit den Operationen der Gruppen verträglich ist.
Bei den Morphismen haben sich folgende Begriffsbildungen durchgesetzt:
\(\displaystyle f\) ist Monomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle f\) ist injektiver Homomorphismus
\(\displaystyle f\) ist Epimorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle f\) ist surjektiver Homomorphismus
\(\displaystyle f\) ist Isomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle f\) ist bijektiver Homomorphismus
\(\displaystyle f\) ist Endomorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle f\) ist Homomorphismus auf sich selbst
\(\displaystyle f\) ist Automorphismus \(\displaystyle \iff\) \(\displaystyle f\) ist bijektiver Endomorphismus, also ein Isomorphismus auf sich selbst
 
 

Beispiele

Sei \(\displaystyle \domR*=\domR\setminus \{0\}\) und \(\displaystyle (\domR*,\cdot)\) die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen.
Die Exponentialfunktion \(\displaystyle f(x)=\e^x\) ist ein Homomorphismus der additiven Gruppe der reellen Zahlen in die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen. Es gilt: \(\displaystyle f(a+b)=\e^{a+b}\) \(\displaystyle = \e^{a} \e^b=f(a)\cdot f(b)\)
Sei \(\displaystyle \sgn: \dom R \rightarrow \dom R\) die Signumfunktion wie folgt definiert:
\(\displaystyle \sgn(x)=\ntxbraceKO \array{{{+1} \space {x>0}} {0 \space {x=0}} {{-1} \space {x<0}}}\).
Dann ist \(\displaystyle \sgn\) ein Homomorphismus von der multiplikativen Gruppe \(\displaystyle \dom {R^+}\) in die multiplikative Gruppe {+1, -1}. Dieser Homomorphismus spiegelt gerade die Regeln für die Multiplikation vorzeichenbehafteter Zahlen wider. Der Kern dieses Homomorphismus ist die multiplikative Gruppe der positiven reellen Zahlen.
In der multiplikativen Gruppe der reellen Zahlen ist \(\displaystyle f(x)=\dfrac 1 x\) ein Homomorphismus. Es gilt: \(\displaystyle f(a\cdot b)=\dfrac 1{a\cdot b}\)\(\displaystyle =\dfrac 1 a\cdot \dfrac 1 b=f(a)\cdot f(b)\). Da die Abbildung bijektiv ist, handelt es sich sogar um einen Isomorphismus.
Homomorphismen besitzen einige interessante Eigenschaften:

Satz 5213B

Seien \(\displaystyle G\) und \(\displaystyle H\) zwei Gruppen, \(\displaystyle e_G\) und \(\displaystyle e_H\) die neutralen Elemente in \(\displaystyle G\) und \(\displaystyle H\) und \(\displaystyle f: G\rightarrow H\) ein Homomorphismus. Dann gilt:
  1. \(\displaystyle f(e_G)=e_H\)
  2. \(\displaystyle f(a^\me)=f(a)^\me\) für alle \(\displaystyle a\in G\)
Homomorphismen überführen neutrale Elemente in neutrale Elemente und inverse Elemente in inverse.

Beweis

(i) \(\displaystyle f(e_G)= f(e_G\circ e_G)=f(e_G)\circ f(e_G)\). Es kann in \(\displaystyle H\) nur ein Element mit einer solchen Eigenschaft geben, das neutrale Element \(\displaystyle e_H\), womit also gilt: \(\displaystyle f(e_G)=e_H\).
(ii) Für ein \(\displaystyle a\in G\) gilt: \(\displaystyle e_H=f(e_G)=f(a\circ a^{-1})=f(a)\circ f(a^{-1})\). Multiplizieren wir von links mit \(\displaystyle f(a)^{-1}\) ergibt sich die Behauptung: \(\displaystyle f(a^{-1})=f(a)^{-1}\) \(\displaystyle \qed\)

So kann also die Mathematik definiert werden als diejenige Wissenschaft, in der wir niemals das kennen, worüber wir sprechen, und niemals wissen, ob das, was wir sagen, wahr ist.

Bertrand Russell

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