Symmetriegruppen

Bewegungen, die Figuren in sich selbst überführen, werden Symmetrien genannt. Diese Symmetrien bilden bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Beispiele

Rechteck

Nehmen wir als Beispiel ein Rechteck.
RechteckSym.png
Neben der Identischen Abbildung II, die das Rechteck unverändert lässt, gibt es eine Drehung DD um 180°, die es in sich selbst überführt. Außerdem sind noch zwei Spiegelungen möglich S1S_1 und S2S_2 an den entsprechenden Achsen.
Die Gruppentafel veranschaulicht, wie diese Symmetrien zusammenhängen und beschreibt damit die Symmetriegruppe des Rechtecks.
II DD S1S_1 S2S_2
DD II S2S_2 S1S_1
S1S_1 S2S_2 II DD
S2S_2 S1S_1 DD II
Diese Gruppe wird als Kleinsche Vierergruppe bezeichnet und man benutzt das Symbol D2\bm{D_2}. Sie ist kommutativ.
 
 

Gleichseitiges Dreieck (Beispiel C7JG)

DreieckSym.png
Für ein gleichseitiges Dreieck erhält man eine 6-elementige Symmetriegruppe bestehend aus 3 Drehungen (wir fassen die Identische Abbildung als Drehung um 0° auf) und drei Spiegelungen.
D0°D_{0°} D120°D_{120°} D240°D_{240°} S1S_1 S2S_2 S3S_3
D120°D_{120°} D240°D_{240°} D0°D_{0°} S2S_2 S3S_3 S1S_1
D240°D_{240°} D0°D_{0°} D120°D_{120°} S3S_3 S1S_1 S2S_2
S1S_1 S3S_3 S2S_2 D0°D_{0°} D240°D_{240°} D120°D_{120°}
S2S_2 S1S_1 S3S_3 D120°D_{120°} D0°D_{0°} D240°D_{240°}
S3S_3 S2S_2 S1S_1 D240°D_{240°} D120°D_{120°} D0°D_{0°}
Diese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe S3\bm{S_3}.
Ähnlich kann man die Symmetriegruppen aller regelmäßigen n-Ecke konstruieren. Im Grenzfall erhält man die Symmetriegruppe des Kreises, die natürlich nicht mehr endlich ist.
In Gruppentafeln gilt allgemein: Jedes Gruppenelement kommt in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.

Die beste von allen Sprachen der Welt ist eine künstliche Sprache, eine ziemlich gedrängte Sprache, die Sprache der Mathematik.

N. I. Lobatschewski

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