Symmetriegruppen

Bewegungen, die Figuren in sich selbst überführen, werden Symmetrien genannt. Diese Symmetrien bilden bzgl. der Hintereinanderausführung eine Gruppe.

Beispiele

Rechteck

Nehmen wir als Beispiel ein Rechteck.
RechteckSym.png
Neben der Identischen Abbildung \(\displaystyle I\), die das Rechteck unverändert lässt, gibt es eine Drehung \(\displaystyle D\) um 180°, die es in sich selbst überführt. Außerdem sind noch zwei Spiegelungen möglich \(\displaystyle S_1\) und \(\displaystyle S_2\) an den entsprechenden Achsen.
Die Gruppentafel veranschaulicht, wie diese Symmetrien zusammenhängen und beschreibt damit die Symmetriegruppe des Rechtecks.
\(\displaystyle I\) \(\displaystyle D\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_2\)
\(\displaystyle D\) \(\displaystyle I\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_1\)
\(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle I\) \(\displaystyle D\)
\(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle D\) \(\displaystyle I\)
Diese Gruppe wird als Kleinsche Vierergruppe bezeichnet und man benutzt das Symbol \(\displaystyle \bm{D_2}\). Sie ist kommutativ.
 
 

Gleichseitiges Dreieck (Beispiel C7JG)

DreieckSym.png
Für ein gleichseitiges Dreieck erhält man eine 6-elementige Symmetriegruppe bestehend aus 3 Drehungen (wir fassen die Identische Abbildung als Drehung um 0° auf) und drei Spiegelungen.
\(\displaystyle D_{0°}\) \(\displaystyle D_{120°}\) \(\displaystyle D_{240°}\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_3\)
\(\displaystyle D_{120°}\) \(\displaystyle D_{240°}\) \(\displaystyle D_{0°}\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_3\) \(\displaystyle S_1\)
\(\displaystyle D_{240°}\) \(\displaystyle D_{0°}\) \(\displaystyle D_{120°}\) \(\displaystyle S_3\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_2\)
\(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_3\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle D_{0°}\) \(\displaystyle D_{240°}\) \(\displaystyle D_{120°}\)
\(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle S_3\) \(\displaystyle D_{120°}\) \(\displaystyle D_{0°}\) \(\displaystyle D_{240°}\)
\(\displaystyle S_3\) \(\displaystyle S_2\) \(\displaystyle S_1\) \(\displaystyle D_{240°}\) \(\displaystyle D_{120°}\) \(\displaystyle D_{0°}\)
Diese Gruppe ist isomorph zur symmetrischen Gruppe \(\displaystyle \bm{S_3}\).
Ähnlich kann man die Symmetriegruppen aller regelmäßigen n-Ecke konstruieren. Im Grenzfall erhält man die Symmetriegruppe des Kreises, die natürlich nicht mehr endlich ist.
In Gruppentafeln gilt allgemein: Jedes Gruppenelement kommt in jeder Zeile und jeder Spalte genau einmal vor.

Die Mathematik muß man schon deswegen studieren, weil sie die Gedanken ordnet.

M. W. Lomonossow

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