Beispiele für Gruppen

Die einfachste mögliche Gruppe ist eine einelementige Menge, wobei das einzige Element gleichzeitig neutrales Element ist $(\{e\},\circ)$.

Um in der Mathematik Beispiele für Gruppen zu finden, muss man nicht lange suchen. Die ganzen Zahlen $\dom Z$ zusammen mit der Addition bilden eine Gruppe $(\dom Z, +)$.

Während wir bei der Definition der Gruppe von einer multiplikativen Bezeichnungsweise ausgegangen sind, heißt das natürlich nicht, dass die Operation immer eine Art Multiplikation sein muss. Es geht eben auch eine Addition, wie das obige Beispiel zeigt. Übrigens bilden die natürlichen Zahlen $\dom N$ bezüglich der Addition keine Gruppe. Es existiert in der Regel kein inverses Element. Man kann sich also vom gruppentheoretischen Standpunkt die ganzen Zahlen als Erweiterung der natürlichen Zahlen zu einer Gruppe bezüglich der Addition vorstellen.

Wenn man sich jetzt fragt, wie man die natürlichen Zahlen bezüglich der Multiplikation zu einer Gruppe machen kann, wir man sehr schnell bei den gebrochenen Zahlen $\dom {Q^+}$ landen. Die Brüche sind die natürlichen Inversen bezüglich der Multiplikation. Wir stellen jedoch fest, dass die $0$ hierbei stört. Für sie gibt es kein inverses Element. Wenn wir sie ausklammern erhalten wir jedoch wieder einer Gruppe.

Analog kann man folgende Gruppen erhalten:

$(\dom Q,+)$ - die rationalen Zahlen bezüglich der Addition

$(\dom Q \setminus \{0\} ,\cdot)$ - die rationalen Zahlen ohne Null bezüglich der Multiplikation

$(\dom R,+)$ - die reellen Zahlen bezüglich der Addition

$(\dom R \setminus \{0\} ,\cdot)$ - die reellen Zahlen ohne Null bezüglich der Multiplikation

Wenn man Teilmengen der Grundbereiche betrachtet, die bzgl. der Operation wieder eine Gruppe bilden erhält man Untergruppen, zu den betrachteten Gruppen

$(\{+1,-1\},\cdot)$: eine Gruppe mit den beiden Elementen $-1$ und $1$ und der üblichen Multiplikation. Kann als Untergruppe der additiven Gruppe der reellen Zahlen gedeutet werden.

Wir bezeichnen mit $\dom {Z_n}$ das Restesystem der ganzen Zahlen bezüglich $n$. Dies umfasst die Zahlen $\{0, 1, 2 \, \, \, n-1\}$. $\dom {Z_2}$ könnten wir mit den aus der Computertechnik bekannten Dualzahlen $\{0, 1\}$ identifizieren; $\dom {Z_3}$ wäre z.B die folgende Menge: $\{0, 1, 2\}$.

Wenn wir diese Restesysteme mit der entsprechenden Addition modulo n ausstatten, erhalten wir für jedes $n \geq 1$ eine Gruppe $(\dom {Z_n}, +_{ \mod \space n})$. Die Ordnung dieser Gruppe ist $n$.

Der Gruppenbegriff ist nicht auf Zahlenmengen und Rechenoperation beschränkt. Sei $A$ eine Menge und $\operatorname{Bij}(A)$ die Menge aller bijektiven Abbildungen von $A$ auf sich selbst. Bezeichnet nun $\circ$ die Hintereinanderausführung von Abbildungen, so ist $(\operatorname{Bij}(A),\circ)$ eine Gruppe. Das neutrale Element ist dabei die identische Abbildung $\id$.

Die Rechtfertigung findet man in den Eigenschaften der Bijektionen (Satz 15XJ). Im endlichen Fall spricht man von Permutationen und diese bilden ebenfalls eine Gruppe, die symmetrische Gruppe.