Symmetrische Differenz als Gruppenoperation

Satz 5218A

Sei MM eine Menge, dann bildet das Potenzmengensystem P(M)\Pow(M) bezüglich der symmetrischen Differenz Δ\Delta eine abelsche Gruppe:

Beweis

Die Abgeschlossenheit der symmetrischen Differenz ergibt sich unmittelbar. Die Assoziativität folgt aus den Eigenschaften der symmetrischen Differenz (Satz 5524E). Das neutrale Element ist die leere Menge ∅\emptyset.
Weiterhin ist jede Menge AA zu sich selbst invers. Wir haben A Δ A=∅A\space \Delta \space A = \emptyset, können Satz 5210C anwenden und erhalten die Kommutativität. □\qed
Diese Gruppe hat die besondere Eigenschaft, dass jedes Element zu sich selbst invers ist. Alle von ee verschiedenen Elemente haben also die Ordnung 2.
Wenn MM zwei Elemente enthält, hat P(M)\Pow(M) vier Elemente und die Gruppe GG ist isomorph zur Kleinschen Vierergruppe D2\bm{D_2}.
 
 

So seltsam es auch klingen mag, die Stärke der Mathematik beruht auf dem Vermeiden jeder unnötigen Annahme und auf ihrer großartigen Einsparung an Denkarbeit.

Ernst Mach

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