Gruppe der linearen Funktionen

Die linearen Funktionen der Form
f(x)=mx+nf(x)=mx+n(1)
bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe.
Das neutrale Element ist die identische Funktion id⁡(x)=x\id(x)=x.
Sind f1(x)=m1x+n1f_1(x)=m_1x+n_1 und f2(x)=m2x+n2f_2(x)=m_2x+n_2 zwei lineare Funktionen, so gilt:
(f2∘f1)(x)=f2(f1(x))=f2(m1x+n1)(f_2\circ f_1)(x)= f_2(f_1(x))=f_2(m_1x+n_1) =m2(m1x+n1)+n2=m_2(m_1x+n_1)+n_2 =m1m2x+(m2n1+n2)=m_1m_2x+(m_2n_1+n_2),(2)
womit gezeigt ist, dass auch die Hintereinanderausführung eine lineare Funktion ist.
Die Inverse zu (1) ist
f  −1(x)=1mx−nmf^{\, \, \uminus 1}(x)=\dfrac 1 m x - \dfrac n m,(3)
wovon man sich durch Multiplikation mit ff unter Benutzung von (2) leicht überzeugt.
Die Gruppe ist nicht kommutativ; man betrachte dazu z.B. die beiden linearen Funktionen f1(x)=2x−1f_1(x)=2x-1 und f2(x)=−x+1f_2(x)=\uminus x+1.
 
 

Untergruppen

Die Gruppe der linearen Funktionen enthält zur additiven als auch die multiplikative Gruppe der reellen Zahlen isomorphe Untergruppen.
Betrachtet man alle Funktionen mit m=1m=1, erhält man die Funktionen der Form f(x)=x+nf(x)=x+n als Untergruppe. Diese ist isomorph zu (R,+)(\dom R,+).
Betrachten wir alle Funktionen mit n=0n=0, erhalten wir die Funktionen der Form f(x)=mxf(x)=mx als Untergruppe. Diese ist isomorph zu (R∖{0},⋅)(\dom R \setminus \{0\} ,\cdot).

Nicht etwa, daß bei größerer Verbreitung des Einblickes in die Methode der Mathematik notwendigerweise viel mehr Kluges gesagt würde als heute, aber es würde sicher viel weniger Unkluges gesagt.

Karl Menger

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