Halbgruppen und Monoide

Sei ∘:M×M→M\circ: M\cross M\to M eine binäre Operation. ∘\circ heißt assoziativ, falls a∘(b∘c)=(a∘b)∘ca\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c für alle a,b,c∈Ma,b,c\in M gilt. Eine Menge MM mit einer assoziativen binären Operation ∘\circ heißt Halbgruppe.
Ein Element e∈Me\in M heißt rechtsneutral, falls a∘e=aa\circ e=a für alle a∈Ma\in M; analog heißt ee linksneutral, falls e∘a=ae\circ a=a. Ist ee linksneutral und rechtsneutral, so heißt ee neutral.
Jede Gruppe ist ein Monoid; ein Monoid muss im Gegensatz zur Gruppe nicht notwendigerweise inverse Elemente besitzen.
 
 

Satz 16IV

Ist ∘:M×M→M\circ: M\cross M\to M eine binäre Operation und ee linksneutral und ff rechtsneutral, so gilt e=fe=f.

Beweis

f=e∘f=ef=e\circ f=e. □\qed Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.

Beispiele

Sind N\N die natürlichen Zahlen einschließlich der Null, so ist (N,+)(\N,+) ein Monoid und (N∖{0},+)(\N\setminus \{0\},+) ist eine Halbgruppe.
(N∖{0},⋅,1)(\mathbb{N}\setminus \{0\}, \cdot, 1) ist ein Monoid.
Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition (Z,+,0)(\mathbb{Z}, +, 0) ist ein Monoid. (Z,−,0)(\mathbb{Z}, -, 0) ist kein Monoid, da die Subtraktion nicht assoziativ ist.
Der dreidimensionale euklidische Raum mit dem Vektorprodukt (R3,×,0)(\mathbb{R}^3, \times, \vec{0}) ist kein Monoid, da das Assoziativgesetz verletzt ist. Bezeichnen wir mit eie_i den ii-ten Einheitsvektor, so ist (e1×e1)×e2=0(e_1 \times e_1)\times e_2 = 0 ≠−e2=e1×(e1×e2)\neq -e_2=e_1 \times (e_1 \times e_2) . Die Menge der Vielfachen einer ganzen Zahl nn: (nZ,+,0)(n\Bbb{Z},+,0) ist ein Monoid.
Die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der Addition (Q+,+,0)(\Bbb{Q}^+,+,0) ist ebenso wie die Menge der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation (Q+∗,⋅,1)({\Bbb{Q}^+}^*,\cdot,1) ein Monoid.
Die Potenzmenge einer Menge XX mit dem Durchschnitt (P(X),∩,X)(\Pow(X),\cap,X) ist ein kommutatives Monoid.

Sei MM ein Monoid mit dem neutralen Element 11 und a∈Ma\in M. Ein b∈Mb\in M heißt rechtsinvers zu aa falls ab=eab=e; analog heißt c∈Mc\in M linksinvers zu aa falls ca=1ca=1.

Satz 16IW

Sei MM ein Monoid und a∈Ma\in M. Ist b∈Mb\in M rechtsinvers und c∈Mc\in M linksinvers zu aa, so ist b=cb=c.

Beweis

b=1b=(ca)bb=1b=(ca)b=c(ab)=c1=c =c(ab)=c1=c. □\qed
Ist aa invertierbar, so schreibt man für das Inverse a−1a^\me (bzw. −a-a, falls die Operation einen additiven Charakter hat).

Satz 16IX

Sei MM ein Monoid und a,b∈Ma,b\in M invertierbar. Dann gilt
  1. (a−1)−1=a(a^\me)^\me=a
  2. (ab)−1=b−1a−1(ab)^\me=b^\me a^\me

Beweis

(i) a−1a=1=aa−1a^\me a=1=aa^\me.
(ii) (ab)(b−1a−1)=abb−1a−1(ab)(b^\me a^\me)=abb^\me a^\me=a1a−1=aa−1=1 =a1 a^\me=a a^\me=1. Analog (b−1a−1)(ab)(b^\me a^\me)(ab). □\qed

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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