Halbgruppen und Monoide

Sei \(\displaystyle \circ: M\cross M\to M \) eine binäre Operation. \(\displaystyle \circ\) heißt assoziativ, falls \(\displaystyle a\circ(b\circ c)=(a\circ b)\circ c\) für alle \(\displaystyle a,b,c\in M\) gilt. Eine Menge \(\displaystyle M\) mit einer assoziativen binären Operation \(\displaystyle \circ\) heißt Halbgruppe.
Ein Element \(\displaystyle e\in M\) heißt rechtsneutral, falls \(\displaystyle a\circ e=a\) für alle \(\displaystyle a\in M\); analog heißt \(\displaystyle e\) linksneutral, falls \(\displaystyle e\circ a=a\). Ist \(\displaystyle e\) linksneutral und rechtsneutral, so heißt \(\displaystyle e\) neutral.
Jede Gruppe ist ein Monoid; ein Monoid muss im Gegensatz zur Gruppe nicht notwendigerweise inverse Elemente besitzen.
 
 

Satz 16IV

Ist \(\displaystyle \circ: M\cross M\to M \) eine binäre Operation und \(\displaystyle e\) linksneutral und \(\displaystyle f\) rechtsneutral, so gilt \(\displaystyle e=f\).

Beweis

\(\displaystyle f=e\circ f=e\). \(\displaystyle \qed\) Ein Monoid ist eine Halbgruppe mit neutralem Element.

Beispiele

Sind \(\displaystyle \N\) die natürlichen Zahlen einschließlich der Null, so ist \(\displaystyle (\N,+)\) ein Monoid und \(\displaystyle (\N\setminus \{0\},+)\) ist eine Halbgruppe.
\(\displaystyle (\mathbb{N}\setminus \{0\}, \cdot, 1)\) ist ein Monoid.
Die Menge der ganzen Zahlen mit der Addition \(\displaystyle (\mathbb{Z}, +, 0) \) ist ein Monoid. \(\displaystyle (\mathbb{Z}, -, 0) \) ist kein Monoid, da die Subtraktion nicht assoziativ ist.
Der dreidimensionale euklidische Raum mit dem Vektorprodukt \(\displaystyle (\mathbb{R}^3, \times, \vec{0})\) ist kein Monoid, da das Assoziativgesetz verletzt ist. Bezeichnen wir mit \(\displaystyle e_i\) den \(\displaystyle i\)-ten Einheitsvektor, so ist \(\displaystyle (e_1 \times e_1)\times e_2 = 0\) \(\displaystyle \neq -e_2=e_1 \times (e_1 \times e_2) \).Die Menge der Vielfachen einer ganzen Zahl \(\displaystyle n\): \(\displaystyle (n\Bbb{Z},+,0)\) ist ein Monoid.
Die Menge der nichtnegativen rationalen Zahlen mit der Addition \(\displaystyle (\Bbb{Q}^+,+,0)\) ist ebenso wie die Menge der positiven rationalen Zahlen mit der Multiplikation \(\displaystyle ({\Bbb{Q}^+}^*,\cdot,1)\) ein Monoid.
Die Potenzmenge einer Menge \(\displaystyle X\) mit dem Durchschnitt \(\displaystyle (\Pow(X),\cap,X)\) ist ein kommutatives Monoid.
Sei \(\displaystyle M\) ein Monoid mit dem neutralen Element \(\displaystyle 1\) und \(\displaystyle a\in M\). Ein \(\displaystyle b\in M\) heißt rechtsinvers zu \(\displaystyle a\) falls \(\displaystyle ab=e\); analog heißt \(\displaystyle c\in M\) linksinvers zu \(\displaystyle a\) falls \(\displaystyle ca=1\).

Satz 16IW

Sei \(\displaystyle M\) ein Monoid und \(\displaystyle a\in M\). Ist \(\displaystyle b\in M\) rechtsinvers und \(\displaystyle c\in M\) linksinvers zu \(\displaystyle a\), so ist \(\displaystyle b=c\).

Beweis

\(\displaystyle b=1b=(ca)b\)\(\displaystyle =c(ab)=c1=c\). \(\displaystyle \qed\)
Ist \(\displaystyle a\) invertierbar, so schreibt man für das Inverse \(\displaystyle a^\me\) (bzw. \(\displaystyle -a\), falls die Operation einen additiven Charakter hat).

Satz 16IX

Sei \(\displaystyle M\) ein Monoid und \(\displaystyle a,b\in M\) invertierbar. Dann gilt
  1. \(\displaystyle (a^\me)^\me=a\)
  2. \(\displaystyle (ab)^\me=b^\me a^\me\)

Beweis

(i) \(\displaystyle a^\me a=1=aa^\me\).
(ii) \(\displaystyle (ab)(b^\me a^\me)=abb^\me a^\me\)\(\displaystyle =a1 a^\me=a a^\me=1\). Analog \(\displaystyle (b^\me a^\me)(ab)\). \(\displaystyle \qed\)

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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