Symmetrische Gruppe

Die Bijektionen einer Menge MM auf sich bilden bezüglich der Hintereinanderausführung eine Gruppe (Beispiel 15XK). Diese Gruppe heißt symmetrische Gruppe.
Im endlich Fall, kann man die Bijektionen durch Permutationen darstellen. Alle Permutationen bilden damit eine Gruppe bzgl. der Hintereinanderausführung. Man bezeichnet diese Gruppe mit Sn\bm {S_n}.
Die Gruppe S1\bm {S_1} besteht nur aus dem neutralen Element und ist damit so ziemlich trivial.
Die Gruppe S2\bm {S_2} hat die Ordnung 2 und ist isomorph zu der entsprechenden zyklischen Gruppe C2\bm{C_2} und der Diedergruppe D1\bm{D_1} (S2≅C2≅D1\bm {S_2}\cong \bm{C_2}\cong\bm{D_1}).

Satz 5210D

Sei GG die symmetrische Gruppe einer Menge MM; sei A⊆MA\subseteq M eine Teilmenge von MM. Dann ist H:={f∈G∣ f(A)=A}H:=\{f\in G|\space f(A)=A\} eine Untergruppe von G.

Beweis

HH ist nicht leer, da die identische Abbildung in HH ist. Damit brauchen wir nach Satz 5210A für zwei Bijektionen f,g∈Hf,g\in H nur zu zeigen, dass f∘g−1∈Hf\circ g^{-1}\in H gilt.
Es ist (f∘g−1)(A)=f(g−1(A))=f(A)=A(f\circ g^{-1})(A)=f(g^{-1}(A))=f(A)=A, womit die Behauptung unmittelbar ersichtlich ist. □\qed
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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