Symmetrische Gruppe S3

Die symmetrische Gruppe S3\bm{S_3} besteht aus 6 Elementen, den Permutationen einer dreielementigen Menge. In Zyklenschreibweise ergibt sich folgende Gruppentafel.
(1) (123) (132) (12) (13) (23)
(123) (132) (1) (13) (23) (12)
(132) (1) (123) (23) (12) (13)
(12) (23) (13) (1) (132) (123)
(13) (12) (23) (123) (1) (132)
(23) (13) (12) (132) (123) (1)
Der Gruppentafel entnimmt man sofort, dass die S3\bm{S_3} isomorph zur Diedergruppe D3\bm{D_3} ist.
Auch die Untergruppen der S3\bm{S_3} lassen sich relativ einfach aufklären.
Einerseits gibt es eine zur C3\bm{C_3} isomorphe Untergruppe, die von der Permutation (123) erzeugt wird. Diese Untergruppe ist auch genau die alternierende Gruppe A3\bm{A_3}.
Andererseits erzeugen die Transpositionen (12), (13) und (23) zur C2\bm{C_2} isomorphe Untergruppen.
S3Ugs.png
Untergruppengraph der S3\bm{S_3}
Der Zusammenhang zwischen den einzelnen Untergruppen wird durch den Untergruppengraphen veranschaulicht.
 
 

Die ganzen Zahlen hat der liebe Gott geschaffen, alles andere ist Menschenwerk.

Leopold Kronecker

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