Diedergruppen

Jetzt wenden wir und einer wichtigen von zwei Elementen aa und bb erzeugten Gruppe zu:

Satz 5328C (Diedergruppe)

Für diese Elemente a≠ba\neq b soll gelten:
  1. an=ea^n=e
  2. ord⁡(b)=2\ord(b)=2, also b2=eb^2=e
  3. ord⁡(a∘b)=2\ord(a\circ b)=2, also (a∘b)2=e(a\circ b)^2=e
Die so erzeugte Gruppe heißt Diedergruppe vom Grad nn und wird mit Dn\bm{D_n} bezeichnet. Diese Gruppe ist für n≥3n\geq 3 nicht kommutativ.

Beweis

Wir überzeugen uns, dass durch diese Definition eine bis auf Isomorphie eindeutig bestimmte Gruppe erzeugt.
Die Gruppe besteht aus folgenden Elementen
ee, aa, a2a^2, ... , an−1a^{n-1} und
bb, abab, a2ba^2b, ... , an−1ba^{n-1}b
Dabei lassen wir im folgenden das Operationszeichen ∘\circ weg.
Wir zeigen, das die Operation nicht aus der Gruppe herausführt.
Aus (ab)2=e(ab)^2=e folgt ab=ba−1ab=ba^{-1} und weiter a2b=aba−1=ba−2a^2b=aba^{-1}=ba^{-2} und durch sukzessives Multiplizieren mit aa erhält man allgemein akb=ba−ka^kb=ba^{-k}.
Damit können wir zeigen, dass akbalba^kba^lb wieder ein Gruppenelement ist. Denn: akbalb=ba−kalb=bal−kb=al−kbb=al−ka^kba^lb=ba^{-k}a^lb=ba^{l-k}b=a^{l-k}bb=a^{l-k}.
Jetzt überzeugen wir und noch, das auch (akb)−1({a^kb})^{-1} Gruppenelement ist. Denn es gilt: (akb)−1=ba−k=akb({a^kb})^{-1}=ba^{-k}=a^kb.
Für n≥3n\geq 3 ist a≠an−1a\neq a^{n-1} und damit ba=an−1b≠abba=a^{n-1}b\neq ab, die Diedergruppe ist also keine abelsche Gruppe.
Die Eindeutigkeit der so definierten Gruppe ergibt sich daraus, dass man für jede andere Gruppe, in der die obigen Beziehungen gelten, einen Isomorphismus auf Dn\bm{D_n} definieren kann. □\qed
Die Diedergruppe Dn\bm{D_n} ist isomorph zur Symmetriegruppe eines regelmäßigen n-Ecks. Dabei entsprechen die aka^k den Drehungen und die akba^kb den Spiegelungen.
Die zyklische Gruppe Cn\bm{C_n} ist Untergruppe von Dn\bm{D_n}, dabei bilden die aka^k die Elemente der zyklischen Gruppe.
Wir erhalten damit auf anderen Weg, dass die Drehungen eine Untergruppe aller Symmetrien bilden.
 
 

Es ist unglaublich, wie unwissend die studirende Jugend auf Universitäten kommt, wenn ich nur 10 Minuten rechne oder geometrisire, so schläft 1/4 derselben sanft ein.

Georg Christoph Lichtenberg

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