Zyklische Gruppen

Wir überlegen, wie die von einem Element aa erzeugte Gruppe GG aussieht. Die Gruppen dieser Art heißen zyklische Gruppen.

Endlicher Fall

Zuerst nehmen wir an, die Gruppe sei endlich und ord⁡(G)=n\ord(G)=n.
Wenn n=1n=1 muss das erzeugende Element aa mit dem neutralen Element ee der Gruppe identisch sein.
Nehmen wir jetzt n>1n>1 an.
In GG liegen dann die folgenden Elemente e=a0,a1,a2,…,an,an+1,…e = a^0, a^1, a^2,\ldots,a^n,a^{n+1},\ldots. Da GG endlich ist, muss ak=ala^k=a^l für gewisse k,l∈Nk,l \in \dom N. ObdA. gelte k>lk>l, dann ist auf Grund der Potenzgesetze ak−l=ea^{k-l}=e.
Sei mm die kleinste Zahl, für die am=ea^m=e. Wenn i,j<mi,j<m und i≠ji \neq j, dann gilt ai≠aja^i \neq a^j. (Andernfalls wäre ai−j=a0=ea^{i-j}=a^0=e im Widerspruch dazu, dass mm die kleinste Zahl mit am=ea^m=e.)
Damit bildet ⟨a⟩=({e,a,a2,…,am−1},∘)\spo a\spc=(\{e, a, a^2,\ldots, a^{m-1}\},\circ) eine Untergruppe von GG. Andererseits ist GG als von aa erzeugte Gruppe die kleinste Untergruppe, die GG und damit ⟨a⟩\spo a\spc enthält. Es gilt also G=⟨a⟩G=\spo a\spc und folglich am=an=ea^m=a^n=e.

Unendlicher Fall

Im Unendlichen Fall besteht die zyklische Gruppe C∞\bm {C_\infty} aus den folgenden Elementen {   ,a−n,…,a−2,a−1,e,a,a2,…,an,   }\{\, \, \, , a^{-n},\ldots,a^{-2},a^{-1},e,a,a^2,\ldots,a^n,\, \, \, \}. Man überzeugt sich wieder leicht, dass diese Elemente alle verschieden sind.
Denn wenn ai=aja^i=a^j für i≠ji \neq j, dann ist ai−j=ea^{i-j}=e und für k=i−jk=i-j erhielten wir mit Ck⁡\bm {C_\k} eine endliche Untergruppe von C∞\bm {C_\infty}, die von aa erzeugt wäre, im Widerspruch zur Annahme, dass aa die unendliche Gruppe C∞\bm {C_\infty} erzeugt.
Die Ergebnisse über zyklische Gruppen fasst der folgende Satz zusammen.

Satz 5328B (Zyklische Gruppen)

Die von einem Element aa erzeugten Gruppen heißen zyklische Gruppen.
Sie haben im endlichen Fall die Form Cn={e,a,a2,…,an−1}\bm {C_n}=\{e, a, a^2,\ldots, a^{n-1}\}, wobei nn die kleinste natürliche Zahl ist, für die an=ea^n=e gilt.
Im unendlichen Fall gilt: C∞:={ak ∣ k∈Z}\bm {C_\infty}:=\{a^k\, |\, k\in\dom Z\} und die Gruppe ist isomorph zur additiven Gruppe der ganzen Zahlen C∞≅(Z,+)\bm {C_\infty}\cong (\dom Z,+).
Alle zyklischen Gruppen sind abelsche Gruppen.

Beweis

Die Wohldefiniertheit der zyklischen Gruppen ergibt sich aus obigen Überlegunben.
Die Kommutativität folgt aus der Kommutativität der Addition ganzer Zahlen, die als Exponenten auftreten. Ebenso kann man einen Isomorphismus zu (Z,+)(\dom Z,+) angeben, indem man die Gruppenelemente auf ihre Exponenten abbildet. □\qed
Satz 5328B stellt sicher, dass es im endlichen Fall für jede Ordnung wenigstens eine Gruppe gibt. Für Gruppen mit Primzahlordnung können wir sogar festhalten:

Satz 5328E

Sei GG eine Gruppe mit ord⁡(G)=p\ord(G)=p und pp eine Primzahl, dann ist GG zyklisch.

Beweis

Sei e≠g∈Ge\neq g\in G beliebig gewählt. Dann gilt nach Satz 5211C ord⁡⟨g⟩∣ord⁡(G)=p\ord\spo g\spc|\ord(G)=p, also ord⁡⟨g⟩=p\ord\spo g\spc=p wegen pp ist Primzahl. Dann gilt aber ⟨g⟩=G\spo g\spc=G. □\qed
 
 

Eine mathematische Wahrheit ist an sich weder einfach noch kompliziert, sie ist.

Émile Lemoine

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