Nebenklassen

Wir können das Komplexprodukt auch bilden, wenn eine der beteiligten Mengen nur ein Element enthält. Man schreibt dann abkürzend aHaH für {a}H\{a\}H und HaHa für H{a}H\{a\}.
Ist HH ein Untergruppe spricht man von Nebenklassen. Je nachdem von welcher Seite multipliziert heißt diese dann Linksnebenklasse bzw. Rechtsnebenklasse.
aH={a∘h∣ h∈H}aH=\{a\circ h|\space h\in H\} Linksnebenklasse
Ha={h∘a∣ h∈H}Ha=\{h\circ a|\space h\in H\} Rechtsnebenklasse
Die Eigenschaften der Nebenklassen beschreibt das folgende

Lemma 5211A (Eigenschaften von Nebenklassen)

Sei HH eine Untergruppe von GG, a,b∈Ga,b\in G und ee das neutrale Element. Dann gilt
  1. aH=bH  ⟺  b−1a∈H  ⟺  a−1b∈HaH=bH\iff b^{-1}a\in H\iff a^{-1}b\in H
  2. eH=HeH=H
  3. a∈H  ⟺  aH=Ha=Ha\in H\iff aH=Ha=H
Entsprechende Aussagen lassen sich auch für Rechtsnebenklassen formulieren.

Beweis

(iii) "  ⟹  \implies": x∈aHx\in aH bedeutet, es gibt ein h∈Hh\in H mit a∘h=xa\circ h=x, es war jedoch a∈Ha\in H vorausgesetzt, womit x∈Hx\in H ist und aH⊆HaH\subseteq H bewiesen ist. Andererseits können wir mit einen x∈Hx\in H dieses sicher als x=a∘hx=a\circ h darstellen, nämlich für h=a−1∘xh=a^{-1}\circ x, womit die andere Inklusion gezeigt ist.
(ii) folgt aus (iii) wegen e∈He\in H.
(i) Die rechts stehenden Äquivalenzen gelten unabhängig von aH=bHaH=bH, denn a−1∘b∈H  ⟺  a^{-1}\circ b\in H\iff ∃h∈H:h=a−1∘b\exists h\in H: h=a^{-1}\circ b   ⟺  h−1=b−1∘a\iff h^{-1}=b^{-1}\circ a   ⟺  b−1∘a∈H\iff b^{-1}\circ a\in H
"  ⟹  \implies": Sei aH=bHaH=bH, dann gilt nach "(iii)  ⟹  \implies": b∈bH=aHb\in bH=aH, damit gibt es ein h∈Hh\in H mit b=a∘hb=a\circ h, also h=a−1∘bh=a^{-1}\circ b womit a−1∘b∈Ha^{-1}\circ b\in H gilt.
"⇐\Leftarrow": Sei b−1∘a∈Hb^{-1}\circ a \in H und g∈aHg\in aH, dann gibt es ein ha∈Hh_a\in H mit g=a∘hag=a\circ h_a. Wir wollen zeigen, dass g∈bHg\in bH ist. Dies kann nur dann der Fall sein, wenn es ein hb∈Hh_b\in H gibt mit g=b∘hbg=b\circ h_b. Wir setzen hb=b−1∘a∘hah_b=b^{-1}\circ a \circ h_a. Auf Grund der Voraussetzung gilt hb∈Hh_b\in H und g=b∘hbg=b\circ h_b, womit aH⊆bHaH\subseteq bH gezeigt ist. Die andere Inklusion kann man analog erschließen.
(iii) "⇐\Leftarrow": Ergibt sich aus (i) und (ii). □\qed
Jetzt können wir die Nebenklassen charakterisieren:

Satz 5211B

Sei HH eine Untergruppe von GG. Dann erzeugen die Nebenklassen eine Zerlegung von GG.
Damit sind zwei Nebenklassen entweder disjunkt oder sie sind gleich und jedes Gruppenelement kommt in einer Nebenklasse vor.
Es gilt sogar: Je zwei Nebenklassen lassen sich bijektiv aufeinander abbilden und sind daher gleichmächtig.

Beweis

Wir führen den Beweis nur für Linksnebenklassen, die Schlüsse lassen sich leicht auch auf Rechtnebenklassen übertragen.
Nach dem Lemma 5211A gilt g∈gHg\in gH, damit ist die Vereinigung aller Nebenklassen die ganze Gruppe ⋃g∈GgH=G\bigcup\limits_{g\in G}{gH}=G.
Nehmen wir jetzt zwei beliebige Nebenklassen aHaH und bHbH für (a,b∈Ga,b\in G); außerdem gelte für ein g∈Gg\in G: g∈aHg\in aH und g∈bHg\in bH. Wir zeigen, dass dann aH=bHaH=bH gilt.
g∈aH  ⟺  ∃ha∈H:a∘ha=gg\in aH \iff \exists h_a\in H: a\circ h_a=g und analog
g∈bH  ⟺  ∃hb∈H:b∘hb=gg\in bH \iff \exists h_b\in H: b\circ h_b=g
Damit gilt: a∘ha=b∘hba\circ h_a=b\circ h_b und somit auch ha∘hb−1=a−1bh_a\circ h_b^{-1}=a^{-1}b. Es waren aber ha,hb∈Hh_a,h_b\in H womit auch a−1∘b∈Ha^{-1}\circ b\in H. Mit obigen Lemma ergibt sich die Behauptung.
Um die Nebenklassen H=eHH=eH und aHaH bijektiv aufeinander abzubilden, definieren wir folgende Abbildung fa:H→aHf_a: H\rightarrow aH mit fa(x)=a∘xf_a(x)=a\circ x für x∈Gx\in G.
faf_a ist injektiv, denn fa(x)=fa(y)f_a(x)=f_a(y) bedeutet a∘x=a∘ya\circ x=a\circ y und nach Linksmultiplikation mit a−1a^{-1} ergibt sich x=yx=y.
faf_a ist surjektiv, denn wenn g∈aHg\in aH, dann gibt es ein h∈Hh\in H mit g=a∘h=fa(h)g=a\circ h=f_a(h), damit ist dieses hh genau das Urbild von gg. □\qed

Für Gruppen endlicher Ordnung können wir sofort eine wichtige Folgerung aus Satz 5211B ziehen.
Alle Nebenklassen haben die gleiche Anzahl von Elementen und mit eH=HeH=H, d.h. eine Nebenklasse ist die Untergruppe HH selbst erhalten wir den:

Satz 5211C (Satz von Lagrange)

Die Ordnung einer Untergruppe HH von GG ist immer Teiler der Ordnung der Gruppe GG:
ord⁡(H)∣ord⁡(G)\ord(H)|\ord(G)
.
Die Anzahl der Nebenklassen einer Untergruppe HH nennt man auch den Index der Untergruppe und bezeichnet ihn mit ind⁡(G:H)\ind(G:H) Mit dieser Definition formuliert sich der Satz als
ord⁡(G)=ord⁡(H)⋅ind⁡(G:H)\ord(G)=\ord(H)\cdot\ind(G:H)
.
 
 

Gott existiert, weil die Mathematik widerspruchsfrei ist, und der Teufel existiert, weil wir das nicht beweisen können.

Andre Weil

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