Zentrum

Unter dem Zentrum Cent(G)\Cent(G) einer Gruppe GG versteht man alle kommutierenden Elemente.
Cent(G):={g∈G∣∀a∈G:ag=ga}\Cent(G):=\{g\in G|\forall a\in G: ag=ga \}
Das Zentrum einer abelschen Gruppe ist die Gruppe insgesamt, da in ihr alle Elemente kommutieren.

Satz 5213G

Das Zentrum Cent(G)\Cent(G) einer Gruppe GG ist Normalteiler.
Cent(G)\Cent(G) ist eine kommutative Gruppe.

Beweis

Cent(G)≠∅\Cent(G)\neq \emptyset, wegen e∈Cent(G)e\in \Cent(G).
Seien a,b∈Cent(G)a,b\in \Cent(G). Mit bb ist auch b−1∈Cent(G)b^{-1}\in \Cent(G), wegen bg=gb  ⟺  b−1g=gb−1bg=gb \iff b^{-1}g=gb^{-1} für beliebiges g∈Gg\in G. Es gilt dann gab−1=agb−1=ab−1ggab^{-1}=agb^{-1}=ab^{-1}g und aus Satz 5210A folgt, dass Cent(G)\Cent(G) eine Untergruppe von GG ist.
Die Normalteilereigenschaft ergibt sich aus der Identität ag=ga  ⟺  a=gag−1ag=ga\iff a=gag^{-1} und der Anwendung von Satz 5212A.
Die Kommutativität folgt sofort aus der Definition des Zentrums. □\qed
 
 

Die Furcht vor der Mathematik steht der Angst erheblich näher als der Ehrfurcht.

Felix Auerbach

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