Erzeugte Untergruppen

Sei G=(G,∘)\bm G=(G,\circ) eine Gruppe und ∅!=M⊆G\OO!=M \subseteq G eine nichtleere Teilmenge von GG. Dann definieren wir ⟨M⟩:=⋂Hi\langle M\rangle:=\bigcap\limits H_i - als Durchschnitt aller Untergruppen HiH_i, die MM enthalten - die von MM erzeugte Untergruppe oder das Erzeugnis von MM.
Diese Definition ist gerechtfertigt, da nach Satz 5210B der Durchschnitt einer beliebigen Familie von Untergruppen wieder eine Untergruppe ist.
Man kann sich sogar leicht überzeugen, dass ⟨M⟩\spo M\spc die kleinste Untergruppe von G\bm G ist, die die Menge MM umfasst.
Wenn ee das neutrale Element ist gilt ⟨e⟩\spo e\spc ist die triviale Untergruppe, die nur aus dem neutralen Element besteht; formal gesehen gilt schon ⟨∅⟩=e\spo \emptyset\spc=e.
Weiterhin ist natürlicherweise ⟨G⟩=G\spo G\spc=G, die ganze Gruppe erzeugt sich selbst.
Eine andere Charakterisierung der erzeugten Untergruppe liefert der folgende
 
 

Satz 5328A

Sei G=(G,∘)\bm G=(G,\circ) eine Gruppe und M⊆GM \subseteq G eine nichtleere Teilmenge von GG, dann gilt:
⟨M⟩:={m1n1∘m2n2∘…∘mknk ∣ k∈N∧m1…mk∈M∧n1…nk∈Z}\spo M\spc:=\{{m_1}^{n_1}\circ{m_2}^{n_2}\circ\ldots\circ{m_k}^{n_k}\, |\, k\in\dom N\and m_1\ldots m_k\in M \and n_1\ldots n_k\in\dom Z \}.
Die erzeugte Untergruppe ⟨M⟩\langle M\rangle besteht also genau aus allen möglichen Produkten von Elementen aus MM.

Vereinigung von Untergruppen

Die Vereinigung zweier Untergruppen H1H_1 und H2H_2 muss nicht notwendigerweise wieder eine Untergruppe sein.
Benutzt man jedoch die von H1H_1 und H2H_2 erzeugte Untergruppe ⟨H1∪H2⟩\spo H_1\cup H_2\spc, so kann man auch für die Vereinigung von Untergruppen sinnvoll eine Untergruppe definieren.

In der Mathematik gibt es keine Autoritäten. Das einzige Argument für die Wahrheit ist der Beweis.

K. Urbanik

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