Kern und Bild von Gruppenhomomorphismen

Seien GG und HH zwei Gruppen und f:G→Hf:G\rightarrow H ein Homomorphismus. Der Kern ker(f)\Ker(f) von ff ist die Menge aller aufs neutrale Element eHe_H von HH abgebildet wird. Das Bild von ff im(f)\Image(f) ist die Menge aller in HH vorkommenden Bilder.
ker(f):={g∈G∣ f(g)=eH}\Ker(f):=\{g\in G|\space f(g)=e_H\}
im(f):={h∈H∣ ∃g∈G:h=f(g)}\Image(f):=\{h\in H|\space \exists g\in G: h=f(g)\}
Der folgende Satz kennzeichnet die Kerne und Bilder von Gruppenhomomorphismen näher:

Satz 5213C (Eigenschaften von Kern und Bild eines Homomorphismus)

Seien GG und HH zwei Gruppen und f:G→Hf:G\rightarrow H ein Homomorphismus. Dann gilt:
  1. ker(f)\Ker(f) ist ein Normalteiler in GG
  2. im(f)\Image(f) ist Untergruppe von HH

Beweis

(i) Wir zeigen zuerst, dass ker(f)\Ker(f) eine Untergruppe von GG ist.
Es ist ker(f)≠∅\Ker(f)\neq \emptyset, denn nach Satz 5213B gilt f(eG)=eHf(e_G)=e_H und damit: eG∈ker(f)e_G\in \Ker(f). Damit hätten wir auch das neutrale Element gefunden.
Nach Satz 5210A brauchen wir jetzt nur noch zu zeigen, dass mit a,b∈ker(f)a,b\in \Ker(f) auch a∘b−1∈ker(f)a\circ b^{-1}\in \Ker(f) gilt. Unter Benutzung von Satz 5213B und der Homomorphieeigenschaft ergibt sich aber f(a∘b−1)=f(a)∘f(b−1)f(a\circ b^{-1})=f(a)\circ f(b^{-1}) =f(a)∘f(b)−1=eH∘eH−1=eH=f(a)\circ f(b)^{-1}=e_H\circ e_H^{-1}=e_H, womit a∘b−1∈ker(f)a\circ b^{-1}\in \Ker(f) folgt.
Damit ist ker(f)\Ker(f) eine Untergruppe von GG; um jetzt noch zu zeigen, dass ker(f)\Ker(f) auch Normalteiler ist, nehmen wir g∈Gg\in G und k∈ker(f)k\in \Ker(f) beliebig an. Es gilt dann f(g∘k∘g−1)f(g\circ k\circ g^{-1}) =f(g)∘f(k)∘f(g−1)=f(g)\circ f(k)\circ f(g^{-1}) =f(g)∘eH∘f(g−1)=f(g)\circ e_H\circ f(g^{-1}) =f(g)∘f(g−1)=f(g)\circ f(g^{-1}) =f(g∘g−1)=f(g\circ g^{-1}) =f(eG)=eH=f(e_G)=e_H. Damit gilt g∘k∘g−1∈ker(f)g\circ k\circ g^{-1}\in\Ker(f) und nach Satz 5212A ist dann ker(f)\Ker(f) Normalteiler von GG.
(ii) Die Schlussweise ist ähnlich wie bei (i). Wir benutzen Satz 5210A und Satz 5213B.
Zuerst im(f)≠∅\Image(f)\neq \emptyset, wegen f(eG)=eH∈im(f)f(e_G)=e_H\in \Image(f).
Dann zeigen wir, dass mit a,b∈im(f)a,b\in \Image(f) auch a∘b−1∈im(f) a\circ b^{-1}\in\Image(f)\, Dazu müssen wir ein g∈Gg\in G finden mit f(g)=a∘b−1f(g)=a\circ b^{-1}. Diese gg ist aber gerade ga∘gb−1g_a\circ {g_b}^{-1}, wenn ga∈Gg_a\in G aber gerade dasjenige ist, für dass f(ga)=af(g_a)=a gilt (analog wird gbg_b gewählt). Der Rest ergibt sich mit ein bisschen homomorpher Rechnerei. □\qed.
Wenn die Kerne von Homomorphismen Normalteiler sind, stellt sich sofort die Frage, ob auch alle Normalteiler als Kerne von Gruppenhomomorphismen aufgefasst werden können. Diese Frage beantwortet

Satz 5213D (Kanonische Homomorphismen von Normalteilern)

Sei GG eine Gruppe und HH Normalteiler in GG. Dann existiert eine Homomorphismus f:G→G/Hf: G\rightarrow G/H mit ker(f)=H\Ker(f)=H
Dieser Homomorphismus wird kanonischer Homomorphismus genannt und ist durch f(g):=gHf(g):=gH gegeben.

Beweis

ff ordnet jedem Gruppenelement seine Linksnebenklasse zu. Nach Satz 5213E ist G/HG/H eine Gruppe.
Die Homomorphie von ff ergibt sich einfach auch der Definition und wenn man nochmals einen Blick in den Beweis von Satz 5213E wirft.
Bleibt zu zeigen ker(f)=H\Ker(f)=H. Unter Benutzung von Lemma 5211A können wir folgende Äquivalenzkette aufbauen: h∈H  ⟺  hH=Hh\in H\iff hH=H   ⟺  f(h)=H\iff f(h)=H   ⟺  h∈ker(f)\iff h\in \Ker(f). □\qed
 
 

Nach unserer bisherigen Erfahrung sind wir zum Vertrauen berechtigt, dass die Natur die Realisierung des mathematisch denkbar Einfachsten ist.

Albert Einstein

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