Jensensche Ungleichung

Die Jensensche Ungleichung besagt, dass der Funktionswert einer konvexen Funktion an einer endlichen Konvexkombination von Stützstellen stets kleiner oder gleich einer endlichen Konvexkombination von den Funktionswerten der Stützstellen ist. Dies bedeutet insbesondere, dass das gewichtete arithmetische Mittel der Funktionswerte an nn Stellen größer oder gleich dem Funktionswert am Mittel dieser nn Stellen ist.

Satz

Für eine konvexe Funktion ff und für positive λi\lambda_i mit ∑i=1nλi=1\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i = 1 gilt:
f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi) f\braceNT{\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i} \leq \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f\braceNT{x_i}\,

Beweis

Verwendet man die heute übliche Definition von konvex, dass
f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y) f(\lambda x+(1-\lambda)y) \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
für alle reellen λ\lambda zwischen 0 und 1 gilt, so ergibt sich die Jensensche Ungleichung einfach durch vollständige Induktion über die Anzahl der Stützstellen.
Hölder verwendete den Begriff konvex noch nicht und zeigte, dass aus f′′≥0f''\ge 0 bzw. f′f' monoton steigend die Ungleichung
f(∑i=1naixi∑i=1nai)≤∑i=1naif(xi)∑i=1naif\braceNT{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n a_i}} \le \dfrac{\sum\limits_{i=1}^n a_i f\braceNT{x_i}}{\sum\limits_{i=1}^n a_i}
für positive aia_i folgt, wobei er dies im Wesentlichen mit dem Mittelwertsatz der Differentialrechnung bewies.
Jensen ging von der schwächeren Definition
f(x+y2)≤f(x)+f(y)2f\braceNT{\dfrac{x+y}{2}}\leq\dfrac{f(x)+f(y)}{2}
aus und zeigte unter ausdrücklichem Verweis auf den Cauchyschen Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel mit vorwärts-rückwärts-Induktion, dass daraus die Beziehung
f(∑i=1nxin)≤∑i=1nf(xi)nf\braceNT{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n x_i}{n}}\leq\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n f\braceNT{x_i}}{n}
für beliebige natürliche Zahlen nn folgt. Daraus folgerte er dann weiter, dass
f(∑i=1nkixi∑i=1nki)≤∑i=1nkif(xi)∑i=1nkif\braceNT{\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n k_i x_i}{\sum\limits_{i=1}^n k_i}}\leq\dfrac{\sum\limits_{i=1}^n k_i f\braceNT{x_i}}{\sum\limits_{i=1}^n k_i}
für natürliche Zahlen kik_i und somit
f(∑i=1nλixi)≤∑i=1nλif(xi)f\braceNT{\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i x_i}\leq\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f\braceNT{x_i}
für beliebige rationale und, sofern ff stetig ist, auch reelle Zahlen λi\lambda_i zwischen 0 und 1 mit ∑i=1nλi=1\sum\limits_{i=1}^n \lambda_i=1 gilt.

Varianten

f(∑i=1nλixi)≥∑i=1nλif(xi) f(\sum\limits_{i=1}^n\lambda_i x_i) \geq \sum\limits_{i=1}^n \lambda_i f(x_i)\,
  • Die stetige Variante der Jensenschen Ungleichung für im Bild von y:[a,b]→Ry: [a,b]\to\R konvexe Funktion ff lautet
f(1b−a∫aby(x) dx)≤1b−a∫abf(y(x)) dx f\braceNT{\dfrac{1}{b-a}\int\limits_a^b y(x) \, dx} \le \dfrac1{b-a}\int\limits_a^b f\braceNT{y(x)} \, dx\,
  • Die stetige und die diskrete Variante lässt sich in der maßtheoretischen Variante zusammenfassen: Ist (Ω,A,μ)\braceNT{\Omega,A,\mu} Maßraum mit μ(Ω)=1 \mu(\Omega) = 1 \, und ist y y \, eine μ\mu -integrierbare reellwertige Funktion, so gilt für jede im Bild von y y \, konvexe Funktion f f \, die Ungleichung
f(∫Ωy dμ)≤∫Ωf∘y dμ f\braceNT{\int\limits_{\Omega} y \, d\mu} \le \int\limits_\Omega f \circ y \, d\mu \,
f(E(X))≤E(f(X)) f(E(X)) \le E(f(X))\,

Anwendungen

Die Jensensche Ungleichung lässt sich beispielsweise zum Beweis der Ungleichung vom arithmetischen und geometrischen Mittel und der Ky-Fan-Ungleichung verwenden.
 
 

Ein guter mathematischer Scherz ist immer besser als ein ganzes Dutzend mittelmäßiger gelehrter Abhandlungen.

John Edensor Littlewood

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