Eigenschaften konvexer und konkaver Funktionen

Graph

Der Graph einer konvexen Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte oberhalb des Graphen, der sogenannte Epigraph, eine konvexe Menge ist. Der Graph einer konkaven Funktion ist so gewölbt, dass die Menge der Punkte unterhalb des Graphen, der sogenannte Hypograph, eine konvexe Menge ist. Zu beachten ist, dass eine nicht-konvexe Funktion nicht automatisch konkav sein muss, d.h. konvex und konkav sind hier nicht das exakte Gegenteil voneinander. Jede lineare Funktion ist sowohl konkav als auch konvex, und die Sinusfunktion ist keins von beiden (weder die Menge der Punkte oberhalb des Graphen noch die der Punkte unterhalb des Graphen ist eine konvexe Menge).

Verhältnis konvex und konkav

Eine Funktion ff ist genau dann konvex (konkav), wenn die Funktion -ff konkav (konvex) ist.

Umkehrfunktion

Ist ff invertierbar und setzt man x=f−1(u),y=f−1(v)x=f^{-1}(u), y=f^{-1}(v), so erhält man für eine konvexe Funktion
f(tf−1(u)+(1−t)f−1(v))≤tu+(1−t)v f(t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v)) \le t u+(1-t)v .
Für eine monoton steigende Funktion gilt also
tf−1(u)+(1−t)f−1(v)≤f−1(tu+(1−t)v) t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v) \le f^{-1}(t u+(1-t)v),
für eine invertierbare monoton steigende und konvexe (konkave) Funktion hat daher die Umkehrfunktion die umgekehrte Art der Konvexität, ist also monoton steigend und konkav (konvex), siehe z.B. exe^x und ln⁡x\ln x.
Für eine monoton fallende Funktion gilt hingegen
tf−1(u)+(1−t)f−1(v)≥f−1(tu+(1−t)v) t f^{-1}(u)+(1-t)f^{-1}(v) \ge f^{-1}(t u+(1-t)v),
für eine invertierbare monoton fallende und konvexe (konkave) Funktion hat daher die Umkehrfunktion die gleiche Art der Konvexität, ist also streng monoton steigend und konvex (konkav), siehe z.B. 1/x1/x auf (−∞,0)(-\infty,0) bzw. (0,∞)(0,\infty).

Konvexität und erste Ableitung

Ist f:R→Rf : \R \to \R differenzierbar, dann gilt
  • f  f \, ist genau dann konvex, wenn ihre Ableitung f ′ f\, \prime wachsend ist, und genau dann streng konvex, wenn f ′ f\, \prime streng monoton wachsend ist. f  f \, ist genau dann konkav, wenn ihre Ableitung f ′ f\, \prime fallend ist, und genau dann streng konkav, wenn f ′ f\, \prime streng monoton fallend ist.
  • Konvexe Funktionen liegen oberhalb der Tangente, also f(x+h)≥f(x)+hf ′(x)f(x+h)\ge f(x)+hf\, '(x), wobei für streng konvex f(x+h)>f(x)+hf ′(x)f(x+h)> f(x)+hf\, '(x) für h≠0h \neq 0 gilt. Aus dieser Beziehung folgt beispielsweise die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung (1+x)r≥1+rx(1+x)^r\geq 1+rx für reelle rr mit r≤0r\leq 0 oder r≥1r\geq 1.
  • Konkave Funktionen liegen unterhalb der Tangente, also f(x+h)≤f(x)+hf ′(x) f(x+h)\le f(x)+hf\, '(x) , wobei für streng konkav f(x+h)<f(x)+hf′(x)f(x+h)< f(x)+hf'(x) für h≠0h \neq 0 gilt. Aus dieser Beziehung folgt beispielsweise die Verallgemeinerung der Bernoullischen Ungleichung (1+x)r≤1+rx(1+x)^r\leq 1+rx für reelle rr mit 0≤r≤10 \le r\leq 1.
  • Eine konvexe(konkave) Funktion ist fast überall differenzierbar

Konvexität und die Ableitung

Konvexität und zweite Ableitung

Für zwei Mal stetig differenzierbare Funktionen f: R→Rf:\, \R \to \R gilt
  • ff ist genau dann konvex, wenn f ′′f\, '' nichtnegativ ist. Ist f ′′f\, '' positiv, ist also ff linksgekrümmt, so ist die Funktion streng konvex; bei streng konvexen Funktionen kann die zweite Ableitung aber einzelne Nullstellen haben, wie das Beispiel f(x)=x4f(x)=x^4 für x=0x=0 zeigt.
  • ff ist genau dann konkav, wenn f ′′f\, '' nichtpositiv ist. Ist f ′′f\, '' negativ, also ff rechtsgekrümmt, so ist die Funktion streng konkav; bei streng konkaven Funktionen kann die zweite Ableitung aber einzelne Nullstellen haben, wie das Beispiel f(x)=−x4f(x)= - x^4 für x=0x=0 zeigt.
Ist die Funktion f: Rn→Rf:\, \R^n \to \R zweimal stetig differenzierbar, dann gilt
  • ff ist genau dann konvex, wenn die Hesse-Matrix von ff positiv semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von ff positiv definit, so ist ff strikt konvex.
  • ff ist genau dann konkav, wenn die Hesse-Matrix von ff negativ semidefinit ist. Ist die Hesse-Matrix von ff negativ definit, so ist ff strikt konkav.

Extremwerte

Da konvexe bzw. konkave Funktionen die Eindeutigkeit von Extremwerten sicherstellen, spielen sie in der nicht-linearen Optimierung eine wichtige Rolle.

Verknüpfungen

Linearkombination

Sind ff und gg zwei konvexe (konkave) Funktionen, so ist auch jede Linearkombination af+bga f + b g mit nichtnegativen Koeffizienten a,ba,b wieder konvex (konkav).

Grenzwert

Der Grenzwert einer punktweise konvergenten Folge konvexer (konkaver) Funktionen ist auch wieder eine konvexe (konkave) Funktion. Ebenso ist die Summe einer punktweise konvergenten Reihe konvexer (konkaver) Funktionen auch wieder eine konvexe (konkave) Funktion.

Supremum konvexer Funktionen

Ist {fα:α∈A}\lbrace f_\alpha:\alpha \in A \rbrace eine Menge konvexer Funktionen, und existiert punktweise das Supremum
f(x):=sup⁡α∈Afα(x)f(x):=\sup_{\alpha\in A}f_{\alpha}(x)
für alle xx, so ist auch ff eine konvexe Funktion.
Für das Infimum gilt das nicht, wie das Beispiel f1(x)=1, f2(x)=xf_1(x)=1,\, f_2(x)=x zeigt.

Infimum konkaver Funktionen

Ist {fα:α∈A}\lbrace f_\alpha:\alpha \in A \rbrace eine Menge konkaver Funktionen, und existiert punktweise das Infimum
f(x):=inf⁡α∈Afα(x)f(x):=\inf_{\alpha\in A}f_{\alpha}(x)
für alle xx, so ist auch ff eine konkave Funktion.
Für das Supremum gilt das nicht, wie das Beispiel f1(x)=1, f2(x)=xf_1(x)=1,\, f_2(x)=x zeigt.

Jensensche Ungleichung

Für konvexe und konkave Funktionen gilt die Jensensche Ungleichung.

Der Fall t<0 bzw. t>1

Für t<0t<0 oder t>1t>1 dreht sich das Ungleichheitszeichen um, für konvexe Funktionen gilt dann also
f(tx+(1−t)y)≥tf(x)+(1−t)f(y) f(t x+(1-t)y) \ge t f(x)+(1-t)f(y)
sofern u:=tx+(1−t)yu:=t x+(1-t)y noch im Intervall II (bzw. in der konvexen Menge CC) ist. Um das zu sehen sei beispielsweise t>1t>1, dann gilt x=1tu+t−1tyx=\dfrac{1}{t}u+\dfrac{t-1}{t}y, wegen Konvexität also
f(x)=f(1tu+t−1ty)≤1tf(u)+t−1tf(y)f(x)=f(\dfrac{1}{t}u+\dfrac{t-1}{t}y)\le \dfrac{1}{t}f(u)+\dfrac{t-1}{t}f(y), somit
tf(x)+(1−t)f(y)≤f(u)=f(tx+(1−t)y)t f(x) + (1-t)f(y)\le f(u)=f(t x+(1-t)y).

Konvexität und Stetigkeit

Jede auf einem offenen Intervall konvexe Funktion ist stetig. Setzt man umgekehrt Stetigkeit voraus, so reicht für Konvexität bereits die Bedingung, dass für alle x,yx,y aus II gilt:
f(x+y2)≤f(x)+f(y)2f\braceNT{\dfrac{x+y}{2}} \le \dfrac{f(x)+f(y)}{2};
es reicht sogar, dass für ein beliebiges, aber fixes λ\lambda mit 0<λ<10<\lambda<1
f(λx+(1−λ)y)≤λf(x)+(1−λ)f(y)f\braceNT{\lambda x +(1-\lambda)y} \le \lambda f(x)+(1-\lambda)f(y)
für alle x,yx,y aus II gilt.
 
 

Ich glaube, daß es, im strengsten Verstand, für den Menschen nur eine einzige Wissenschaft gibt, und diese ist reine Mathematik. Hierzu bedürfen wir nichts weiter als unseren Geist.

Georg Christoph Lichtenberg

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