Offener Kern

Sei MM ein metrischer Raum und A⊆MA\subseteq M eine Teilmenge davon.
Die Menge der inneren Punkte von AA heißt Inneres oder offener Kern und wird mit A°A° bezeichnet.

Satz 5226A (Eigenschaften des offenen Kerns)

Für alle Teilmengen A,BA,B eines metrischen Raums MM gilt:
  1. A°⊆AA°\subseteq A
  2. A⊆B   ⟹   A°⊆B°A\subseteq B\,\implies\, A°\subseteq B°
  3. A°°=A°A°°=A°
  4. ∅°=∅\OO°=\OO und M°=MM°=M
  5. A°A° besteht genau aus denjenigen Punkten, die AA als Umgebung haben.
 
 

Beweis

(i) x∈A°x\in A°   ⟹  ∃U(x)⊆A\implies \exists U(x)\subseteq A   ⟹  x∈A\implies x\in A, da x∈U(x)x\in U(x).
(ii) x∈A°x\in A°   ⟹  ∃U(x)⊆A\implies \exists U(x)\subseteq A, da A⊆BA\subseteq B   ⟹  U(x)⊆B\implies U(x)\subseteq B   ⟹  x∈B°\implies x\in B° . (iii) A°°⊆A°A°°\subseteq A° klar wegen (i) und (ii). Sei x∈A°x\in A°   ⟹  ∃U(x)⊆A\implies \exists U(x)\subseteq A. Nach Satz 16RB existiert V(x)⊆U(x)V(x)\subseteq U(x), sodass U(x)U(x) Umgebung für alle Punkte y∈V(x)y\in V(x) ist. Damit sind alle Punkte y∈V(x)y\in V(x) innere Punkte von AA, also V(x)⊆A°V(x)\subseteq A°, also ist xx innerer Punkt von A°A°.   ⟹  A°⊆A°°\implies A°\subseteq A°°
(iv) ∅\OO enthält keine Punkte, also auch keine inneren. M°=MM°=M, da MM stets Umgebung von xx.
(v) "  ⟹  \implies": x∈A°x\in A°   ⟹  ∃U(x)⊂A\implies \exists U(x)\subset A, nach Satz 16RB ist AA Umgebung von xx. "⇐\Leftarrow": Ist AA Umgebung von xx, so ist xx innerer Punkt von AA und es gilt x∈A°x\in A°. □\qed

Satz 16RD (Offener Kern und Mengenoperationen)

Sei MM ein metrischer Raum, II eine Indexmenge und {Ai}\{A_i\} eine Mengenfamilie. Dann gilt:
  1. (⋂i∈I Ai)°  ⊆  ⋂i∈I Ai°\left(\bigcap\limits_{i\in I} \, A_i\right)°\;\subseteq\; \bigcap\limits_{i\in I} \, A_i°,
  2. (⋃i∈I Ai)°  ⊇  ⋃i∈I Ai°\left(\bigcup\limits_{i\in I} \, A_i\right)°\;\supseteq\; \bigcup\limits_{i\in I} \, A_i°,
  3. Ist I={1,2,…,n}I=\{1,2,\dots,n\} endlich, so gilt
    (⋂i=1n Ai)°  =  ⋂i=1n Ai°\left(\bigcap\limits_{i=1}^n \, A_i\right)^°\;=\; \bigcap\limits_{i=1}^n \, A_i°.

Beweis

(i) x∈(⋂i∈I Ai)°x\in \left(\bigcap\limits_{i\in I} \, A_i\right)°   ⟹  \implies xx ist innerer Punkt von ⋂i∈I Ai\bigcap\limits_{i\in I} \, A_i   ⟹  ∃U(x)⊆⋂i∈I Ai\implies\exists U(x)\subseteq \bigcap\limits_{i\in I} \, A_i   ⟹  U(x)⊆Ai\implies U(x)\subseteq A_i (∀i∈I\forall i\in I). xx ist also innerer Punkt aller AiA_i, d.h. x∈Ai°x\in A_i° (∀i∈I\forall i\in I)   ⟹  x∈⋂i∈I Ai°\implies x\in\bigcap\limits_{i\in I} \, A_i°. (ii) x∈⋃i∈I Ai°x\in\bigcup\limits_{i\in I} \, A_i°   ⟹  ∃k∈I:x∈Ak°\implies \exists k\in I: x\in A_k°. Damit ist xx innerer Punkt von AkA_k, also auch von ⋃i∈I Ai\bigcup\limits_{i\in I} \, A_i   ⟹  x∈(⋃i∈I Ai)°\implies x\in\left(\bigcup\limits_{i\in I} \, A_i\right)°. (iii) x∈⋂i=1n Ai°x\in\bigcap\limits_{i=1}^n \, A_i°   ⟹  x∈Ak°\implies x\in A_k° für k=1,…,nk=1,\dots,n. xx ist also innerer Punkt aller AkA_k, es gibt also für jedes kk eine Umgebung Uk(x)⊆AkU_k(x)\subseteq A_k. Nach Satz 16RB ist ⋂i=1nUk(x)\bigcap\limits_{i=1}^n U_k(x) eine Umgebung von xx, daher ist xx innerer Punkt von ⋂i=1n Ai\bigcap\limits_{i=1}^n \, A_i.   ⟹  x∈(⋂i=1n Ai)°\implies x\in \left(\bigcap\limits_{i=1}^n \, A_i\right)^°. □\qed

Die Mathematik ist eine Art Spielzeug, welches die Natur uns zuwarf zum Troste und zur Unterhaltung in der Finsternis.

Jean-Baptist le Rond d'Alembert

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