Rand und abgeschlossene Hülle

Sei MM ein metrischer Raum und A⊆MA\subseteq M eine Teilmenge davon.
Die Menge der Randpunkte von AA heißt der Rand und wird mit ∂A\partial A bezeichnet.

Satz 16RG (Eigenschaften des Randes)

Für jede Teilmenge A⊆MA\subseteq M gilt:
  1. ∂A=∂(Ac)\partial A = \partial ( A^c )
  2. AA ist offen und abgeschlossen   ⟺  \iff ∂A=∅\partial A=\OO.
    Speziell: ∂∅=∅\partial \OO=\OO und ∂M=∅ \partial M=\OO
  3. A°∩∂A=∅A°\cap \partial A=\emptyset
  4. A°=A∖∂AA°=A\setminus \partial A
  5. ∂A\partial A ist abgeschlossen
  6. A°=∅A°=\emptyset genau dann, wenn ∂A⊇A\partial A\supseteq A
 
 

Beweis

(i) Folgt direkt aus der Definition des Randpunktes. (ii) AA offen   ⟹  \implies AA enthält nur innere Punkte   ⟹  \implies nach Satz 16RC ist kein Punkt von AA Randpunkt. Sei x∈Acx\in A^c, dann ist xx innerer Punkt von AcA^c, da AA abgeschlossen, also kein Randpunkt. Andersherum: Hat AA keine Randpunkte, so ist jeder Punkt von AA innerer Punkt von AA und jeder Punkt von AcA^c ebenso innerer Punkt von AcA^c (iii) Folgt direkt aus Satz 16RC.
(iv) A°⊆AA°\subseteq A (Satz 5226A)   ⟹  A°=A°∖∂A⊆A∖∂A\implies A°=A°\setminus \partial A \subseteq A\setminus \partial A (nach (iii))
Sei jetzt x∈A∖∂Ax\in A\setminus \partial A, dann ist xx kein Randpunkt. Es gibt also eine Umgebung U(x)U(x), die ganz in AA oder im Komplement AcA^c liegt. Da x∈Ax\in A muss aber U(x)⊆AU(x)\subseteq A gelten also ist xx innerer Punkt von AA und damit x∈A°x\in A°.
(v) Wir zeigen, dass (∂A)c(\partial A)^c offen ist. Es gilt: (∂A)c=(A∪Ac)∖∂A(\partial A)^c=(A\cup A^c)\setminus \partial A
=(A∖∂A)∪(Ac∖∂A)=(A\setminus \partial A)\cup ( A^c\setminus \partial A) (Satz 5910C)
=A°∪(Ac∖∂(Ac))=A°\cup (A^c\setminus \partial (A^c)) =A°∪(Ac)°=A°\cup (A^c)°.
Es ist uns gelungen, (∂A)°(\partial A)° als Vereinigung zweier offener Mengen darzustellen, also ist die Menge nach Satz 5225J offen und mithin ∂A\partial A abgeschlossen.
(vi) A⊆∂AA\subseteq\partial A   ⟹  A∖∂A=∅\implies A\setminus \partial A=\OO   ⟹  A°=∅\implies A°=\OO nach iv. A°=∅A°=\OO   ⟹  \implies x∈Ax\in A ist kein innerer Punkt, kann auch keine äußerer Punkt sein, muss also ein Randpunkt sein.   ⟹  x∈∂A\implies x\in\partial A □\qed

Definition abgeschlossene Hülle

Nimmt man zu einer Teilmenge A⊆MA\subseteq M eines metrischen Raumes MM ihre Randpunkte hinzu, so erhält man die abgeschlossene Hülle A‾:=A∪∂A\overline A:=A \cup \partial A. Zuerst ein Satz, der es ermöglicht, offenen Kern und abgeschlossene Hülle ineinander umzurechnen.

Satz 16RI

  1. A°∩ Ac‾=∅A°\cap \, \overline {A^c}=\OO,
  2. A°∪ Ac‾=MA°\cup \, \overline {A^c}=M,
  3. (A°)c=Ac‾\nohtml (A°)^c=\overline {A^c},
  4. (A‾)c=(Ac)°(\overline A)^c=(A^c)°

Beweis

(i) A°∩ Ac‾A°\cap \, \overline {A^c} =A°∩((Ac)°∪∂(Ac))=A°\cap((A^c)°\cup \partial(A^c)) =(A∩Ac)°⎵=∅∪(A°∩∂A)⎵=∅=∅=\underbrace {(A\cap A^c)°}_{=\OO}\cup\underbrace {(A°\cap \partial A)}_{=\OO}=\OO (Satz 16RD und Satz 16RG)
(ii) x∈Mx\in M ist innerer Punkt von AA, also x∈A°x\in A° oder äußerer oder Randpunkt von AA (Satz 16RC), dann ist xx aber innerer oder Randpunkt von AcA^c, also x∈Acx\in A^c. (iii) wegen (i) und (ii). (iv) mit (iii): (Ac)°=(Acc‾)c=(A‾)c(A^c)°={\left(\overline {A^{cc}}\right)}^c=(\overline A)^c. □\qed

Satz 16RJ

  1. A⊆A‾A\subseteq \ovl A
  2. A⊆B   ⟹   A‾⊆B‾A\subseteq B\,\implies\, \ovl A\subseteq \ovl B
  3. A‾‾=A‾\ovl {\ovl A}=\ovl A
  4. ∅‾=∅\ovl\OO=\OO und M‾=M\ovl M=M

Beweis

Alle Aussagen (i)-(iv) sind duale Aussagen zum Satz 5226A und können durch Übergang zum Komplement und Satz 16RI bewiesen werden. □\qed

Satz 16RK (Abgeschlossene Hülle und Mengenoperationen)

Sei MM ein metrischer Raum, II eine Indexmenge und {Ai}\{A_i\} eine Mengenfamilie. Dann gilt:
  1. (⋂i∈I Ai)‾  ⊆  ⋂i∈I Ai‾\ovl{\left(\bigcap\limits_{i\in I} \, A_i\right)}\;\subseteq\; \bigcap\limits_{i\in I} \, \ovl{A_i},
  2. (⋃i∈I Ai)‾  ⊇  ⋃i∈I Ai‾\ovl{\left(\bigcup\limits_{i\in I} \, A_i\right)}\;\supseteq\; \bigcup\limits_{i\in I} \, \ovl{A_i},
  3. Ist I={1,2,…,n}I=\{1,2,\dots,n\} endlich, so gilt
    (⋃i=1n Ai)‾  =  ⋃i=1n Ai‾\ovl{\left(\bigcup\limits_{i=1}^n \, A_i\right)}\;=\; \bigcup\limits_{i=1}^n \, \ovl{A_i}.

Beweis

Übergang zum Komplement und Satz 16RI und Satz 16RD.

Satz 16RL (Abgeschlossene Hülle und abgeschlossene Mengen)

  1. AA ist abgeschlossen   ⟺  A=A‾\iff A= \overline A
  2. A‾\ovl A ist die kleinste abgeschlossene Menge, die alle abgeschlossenen Obermengen von AA enthält und lässt sich damit als Durchschnitt aller abgeschlossenen Mengen, die AA enthalten, darstellen.

Beweis

(i) AA abgeschlossen   ⟺   Ac\iff \, A^c offen   ⟺   Ac=(Ac)°\iff \, A^c=(A^c)°   ⟺   Ac=A‾c\iff \, A^c={\ovl A}^c   ⟺   A=A‾\iff \, A=\ovl A
(ii) ergibt sich mit Satz 16RI und Satz 16RF. □\qed

Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch.

Rene Descartes

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