Geraden

Punktrichtungsgleichung

GeradePr.png
Analog zu beliebigen euklidischen Vektorräumen definieren wir für einen Ortvektor pp und einen Richtungsvektor a≠0a\neq 0 eine Gerade durch pp mit der Richtung aa als
gr(p,a):={p+αa∣α∈R}\gerade(p,a):=\{p+\alpha a| \alpha\in\dom R\}
Für jeden Punkt q∈g(p,a)q\in g(p,a) gilt mit dieser Definition, dass es ein α∈R\alpha \in\dom R gibt, so dass q=p+αaq=p+\alpha a gilt. Diese Art der Geradengleichung heißt Punktrichtungsgleichung bzw. Parameterform.

Zweipunktegleichung

Gerade.png
Zwei Punkte AA und BB bzw. ihre Ortsvektoren aa und bb mit a≠ba \neq b definieren eine Gerade, deren Punktrichtungsgleichung durch
gr(a,b−a):=a+α(b−a)\gerade(a,b-a):= a + \alpha( b - a)
gegeben ist
Diese Gleichung lässt sich zu
gr(A,B):=(1−α)a+αb\gerade(A,B):=(1-\alpha)a + \alpha b
- der Zweipunktegleichung - umformen.
Für α∈[0,1]\alpha\in [0,1] beschreibt die Gleichung genau die Punkte der Strecke AB‾\overline {AB}. Speziell für α=0\alpha=0 wird der Punkt AA angenommen und für α=1\alpha=1 der Punkt BB.
 
 

Es ist unmöglich, die Schönheiten der Naturgesetze angemessen zu vermitteln, wenn jemand die Mathematik nicht versteht. Ich bedaure das, aber es ist wohl so.

Richard Feynman

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Analytische Geometrie