Geraden

Punktrichtungsgleichung

GeradePr.png
Analog zu beliebigen euklidischen Vektorräumen definieren wir für einen Ortvektor \(\displaystyle p\) und einen Richtungsvektor \(\displaystyle a\neq 0\) eine Gerade durch \(\displaystyle p\) mit der Richtung \(\displaystyle a\) als
\(\displaystyle \gerade(p,a):=\{p+\alpha a| \alpha\in\dom R\}\)
Für jeden Punkt \(\displaystyle q\in g(p,a)\) gilt mit dieser Definition, dass es ein \(\displaystyle \alpha \in\dom R\) gibt, so dass \(\displaystyle q=p+\alpha a\) gilt. Diese Art der Geradengleichung heißt Punktrichtungsgleichung bzw. Parameterform.
 
 

Zweipunktegleichung

Gerade.png
Zwei Punkte \(\displaystyle A\) und \(\displaystyle B\) bzw. ihre Ortsvektoren \(\displaystyle a\) und \(\displaystyle b\) mit \(\displaystyle a \neq b\) definieren eine Gerade, deren Punktrichtungsgleichung durch
\(\displaystyle \gerade(a,b-a):= a + \alpha( b - a)\)
gegeben ist
Diese Gleichung lässt sich zu
\(\displaystyle \gerade(A,B):=(1-\alpha)a + \alpha b \)
- der Zweipunktegleichung - umformen.
Für \(\displaystyle \alpha\in [0,1]\) beschreibt die Gleichung genau die Punkte der Strecke \(\displaystyle \overline {AB}\). Speziell für \(\displaystyle \alpha=0\) wird der Punkt \(\displaystyle A\) angenommen und für \(\displaystyle \alpha=1\) der Punkt \(\displaystyle B\).

Im großen Garten der Geometrie kann sich jeder nach seinem Geschmack einen Strauß pflücken.

David Hilbert

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