Punkt und Gerade in der Ebene

Um den Abstand eines Punktes qq von der Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) zu bestimmen, ermitteln wir zuerst mit Formel 5414A den Schnittpunkt ss der Geraden gr(p,a)\gerade(p,a) und gr(q,a⊥)\gerade(q,a\ortho). Letztere Gerade steht senkrecht auf gr(p,a)\gerade(p,a) und geht durch qq.
s=1⟨a,a⟩ (⟨q,a⟩a−⟨p,a⊥⟩a⊥)s=\dfrac 1{\spo a,a\spc}\, \braceNT{ \spo q,a\spc a-\spo p,a\ortho\spc a\ortho}(1)
Diese Formel wollen wir noch vom Auftreten des Orthokomplements befreien. Dazu benutzen wir Satz 5324A und erhalten:
−⟨p,a⊥⟩a⊥-\spo p,a\ortho\spc a\ortho=⟨a,a⟩p+⟨a⊥,p⊥⟩a=\spo a,a\spc p+\spo a\ortho,p\ortho \spc a=⟨a,a⟩p−⟨a,p⟩a=\spo a,a\spc p-\spo a,p \spc a(2)
Diese Gleichung setzen wir in (1) ein:
s=1⟨a,a⟩ (⟨q,a⟩a+⟨a,a⟩p−⟨a,p⟩a)s=\dfrac 1{\spo a,a\spc}\, \braceNT{ \spo q,a\spc a +\spo a,a\spc p-\spo a,p \spc a}(3)
und formen es zu
s=p+⟨q−p,a⟩⟨a,a⟩as=p+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a(4)
um. Damit erhalten wir
 
 

Formel 5415A (Abstand Punkt und Gerade)

d(gr(p,a),q)=∣∣p−q+⟨q−p,a⟩⟨a,a⟩a∣∣d(\gerade(p,a),q)= \ntxbraceI{\ntxbraceI{p-q+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a}}
Diese Formel entspricht der Formel 5415E für den euklidischen Raum.

Das ist ein Mittel, das Paradies nicht zu verfehlen: auf der einen Seite einen Mathematiker, auf der anderen einen Jesuiten; mit dieser Begleitung muß man seinen Weg machen, oder man macht ihn niemals.

Friedrich der Große

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