Punkt und Gerade in der Ebene

Um den Abstand eines Punktes \(\displaystyle q\) von der Geraden \(\displaystyle \gerade(p,a)\) zu bestimmen, ermitteln wir zuerst mit Formel 5414A den Schnittpunkt \(\displaystyle s\) der Geraden \(\displaystyle \gerade(p,a)\) und \(\displaystyle \gerade(q,a\ortho)\). Letztere Gerade steht senkrecht auf \(\displaystyle \gerade(p,a)\) und geht durch \(\displaystyle q\).
(1)
\(\displaystyle s=\dfrac 1{\spo a,a\spc}\, \braceNT{ \spo q,a\spc a-\spo p,a\ortho\spc a\ortho}\)
Diese Formel wollen wir noch vom Auftreten des Orthokomplements befreien. Dazu benutzen wir Satz 5324A und erhalten:
(2)
\(\displaystyle -\spo p,a\ortho\spc a\ortho\)\(\displaystyle =\spo a,a\spc p+\spo a\ortho,p\ortho \spc a\)\(\displaystyle =\spo a,a\spc p-\spo a,p \spc a\)
Diese Gleichung setzen wir in (1) ein:
(3)
\(\displaystyle s=\dfrac 1{\spo a,a\spc}\, \braceNT{ \spo q,a\spc a +\spo a,a\spc p-\spo a,p \spc a}\)
und formen es zu
(4)
\(\displaystyle s=p+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a\)
um. Damit erhalten wir
 
 

Formel 5415A (Abstand Punkt und Gerade)

\(\displaystyle d(\gerade(p,a),q)= \ntxbraceI{\ntxbraceI{p-q+ \dfrac { \spo q-p,a\spc } {\spo a,a\spc}a}}\)
Diese Formel entspricht der Formel 5415E für den euklidischen Raum.

Alle Pädagogen sind sich darin einig: man muß vor allem tüchtig Mathematik treiben, weil ihre Kenntnis fürs Leben größten direkten Nutzen gewährt.

Felix Klein

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